(devoirs 23/09/23)
#### Exercice 4
>[!exercice]
>Soient $E_2$ le plan usuel à deux dimensiosn rapporté à un ROD $R = (O; \vec{i}; \vec{j})$ et $M(a;b)$ un point de $E_2$. Quelles sont les coordonnées du projeté orthogonal de $M$ sur la droite $D$ d'équation cartésienne : $x-2y= 0$ .
On sait que le vecteur directeur de la droite $D$ est: $y=\frac{x}{2}$ donc: $\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$
Soit le point $M'$ le point $M$ projeté sur la droite $D$, (on assume que tout point à un projeté), alors ce point aura $MM' \perp \begin{pmatrix}1\\1/2\end{pmatrix}$. Ainsi, on cherches:
$\begin{align*}
\begin{cases}
(x-a)(1)+(y-b)\left(\frac{1}{2}\right)&=0 \\
x-2y&= 0
\end{cases}\\
\begin{cases}
(x-a)+\frac{y-b}{2}&=0 \\
x-2y&= 0
\end{cases}\\
(2y-a)+\frac{y-b}{2}&=0 \\
\frac{3}{2}y-a-\dfrac{b}{2}&=0 \\
y&=\dfrac{2a+b}{3} \\
x-a+\frac{\dfrac{2a+b}{3}-b}{2}&=0 \\
x&=a-\frac{\dfrac{2a+b}{3}-b}{2} \\
x&=a-\dfrac{2a-3b}{6} \\
x&=\dfrac{4a+3b}{6} \\
x&=\frac{2}{3}a + \frac{1}{2}b \\
\end{align*}
$
$
\begin{align*}
\begin{cases}
M_{x}-M'_{x}&= 1t \\
M_{y}-M'_{y}&= -2t \\
\end{cases}\\
\begin{cases}
a-M'_{x}&= 1t \\
b-M'_{y}&= -2t \\
\end{cases}\\\begin{cases}
M'_{x}&= a-1t \\
M'_{y}&= b+2t \\
\end{cases}
\end{align*}
$
Donc, on cherches également:
$
\begin{align*}
x-2y &= 0 \\
(a-1t)-2(b+2t) &= 0\\
a-1t-2b-4t &= 0\\
a-2b-5t&= 0\\
5t &= a -2b\\
t &= \frac{1}{5}a+\frac{-2}{5}b\\\\
\end{align*}
$
$
\begin{align}
\begin{cases}
M'_{x}&= a-1t \\
M'_{y}&= b+2t \\
\end{cases}\\
\begin{cases}
M'_{x}&= a-1(\frac{1}{5}a-\frac{2}{5}b) \\
M'_{y}&= b+2(\frac{1}{5}a-\frac{2}{5}b) \\
\end{cases}\\
\begin{cases}
M'_{x}&= a-\frac{1}{5}a+\frac{2}{5}b \\
M'_{y}&= b+\frac{-2}{5}a-\frac{4}{5}b \\
\end{cases}
\end{align}
$
----
##### Exemple 9
Dans un plan $P$ rapporté au repère orthonormé direct $R = (O; e_{x};e_{y })$, on considère le parallélogramme défini par l'un de ses sommets, $O$, et deux de ses quatre arêtes. $OA$ et $OB$ où.
>[!warning]
>ce qui est en bas est du bullshit total,
>j'ai fait une erreur parce que je suis retard
$\vec{OA}\begin{pmatrix}-4\\ 2\end{pmatrix} \vec{OB} \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$
$
\begin{align*}
&= \lvert OA x OB \rvert &= \begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}\\
&= \sqrt{ 8^{2}+4^{2}} &= 8.94
\end{align*}$
-----
![[1 td 1 2023-09-27 10.29.29.excalidraw.svg]]
-----
$
\begin{align*}
\begin{cases}
\vec{ i} * \vec{u} + \vec{j} * \vec{v}&= \vec{k} \\
\vec{i} \cdot \vec{u}+\vec{J} \cdot \vec{v}&=(\vec{ i} * \vec{ j }) * k \\
\vec{u} + \vec{ v} &= \vec{ i} - 3 \vec{ j }
\end{cases}\\
\begin{cases}
\vec{ i} * \vec{u} + \vec{j} * \vec{v}&= \vec{k} \\
\vec{i} \cdot \vec{u}+\vec{J} \cdot \vec{v}&= \lvert k \rvert^{2}\\
\vec{u} + \vec{ v} &= \vec{ i} - 3 \vec{ j }
\end{cases}\\
\begin{cases}
\vec{ i} * \vec{u} + \vec{j} * \vec{v}&= \vec{k} \\
\vec{i} \cdot \vec{u}+\vec{j} \cdot \vec{v}&= \lvert k \rvert^{2}\\
\vec{u} &= \vec{ i} - 3 \vec{ j } - \vec{v} \\
\end{cases}\\
\begin{cases}
\vec{ i} * (\vec{ i} - 3 \vec{ j } - \vec{v}) + \vec{j} * \vec{v}&= \vec{k} \\
\vec{i} \cdot \vec{u}+\vec{j} \cdot \vec{v}&= \lvert k \rvert^{2}\\
\vec{u} &= \vec{ i} - 3 \vec{ j } - \vec{v} \\
\end{cases}\\
\begin{cases}
\vec{ i} - 3 \vec{ k} - \vec{ i}\vec{v} + \vec{j} * \vec{v}&= \vec{k} \\
\vec{i} \cdot \vec{u}+\vec{j} \cdot \vec{v}&= \lvert k \rvert^{2}\\
\vec{u} &= \vec{ i} - 3 \vec{ j } - \vec{v} \\
\end{cases}\\
\
\end{align*}
$
$
\vec{ j}
$
$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0*c-0*b \\ 0*a-c*1\\b\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}0\\-c\\b\end{pmatrix}
\end{align*}
$
$
\begin{cases}
a+a' = 1 \\
b+b' = -3 \\
c+c' = 0 \\
-c'= 0 \\
-c = 0 \\
b-a' =1 \\
\dots
\end{cases}
$
$b = -1 ; a' = -2 ; b'=-2; c=0 ;c'=0$
## 10
$A(2,3,4)$ un point de $E_{3 }$.
$\begin{align*}
\vec{n}=\vec{z} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\
\vec{AH} \cdot \vec{ n}=0\\
\begin{cases}
a-2 +(b-3)+(c-4)=0 \\
a &= t \\
b &= t' \\
c &= 0 \\
\end{cases}\\
\begin{cases}
a +b=9 \\
a &= t \\
b &= t' \\
c &= 0 \\
\end{cases}
\end{align*}
$
$
h \begin{pmatrix}-2\\-3\\0\end{pmatrix}
$
donc:
$
\vec{ u} = \frac{1}{\sqrt{13 }} \begin{pmatrix}-2\\-3\\0\end{pmatrix}
$
$\begin{align*}
\vec{ u} * \vec{ v} &= e_{z } \\
\vec{ v} * \vec{ u} &= 0 \\
\vec{ v} * \vec{ e_{z }} &= 0 \\
\begin{cases}
u_{y} v_{z } - v_{y } u_{z} &= 0 \\
u_{z} v_{x} - v_{z} u_{x} &= 0 \\
u_{x} v_{y } - u_{y} v_{x} &= 1 \\
v_{x} * u_{x} + v_{y } u_{y}+ u_{z} v_{z} &= 0 \\
v_{z} &= 0 \\
\end{cases}\\
\begin{cases}
v_{y } u_{z} &= 0 \\
u_{z} v_{x} &= 0 \\
u_{x} v_{y } - u_{y} v_{x} &= 1 \\
v_{x} * u_{x} + v_{y } u_{y} &= 0 \\
v_{z} &= 0 \\
\end{cases}\\
\begin{cases}
\frac{-2}{\sqrt{ 13 }} v_{y } - \frac{-3}{\sqrt{ 13 }} v_{x} &= 1 \\
v_{x} \frac{-2}{\sqrt{ 13 }} &= v_{y } \frac{3}{\sqrt{ 13 }} \\
v_{z} &= 0 \\
\end{cases}\\
\end{align*}
$
$
\begin{align*}
\begin{cases}
-2 v_{y } + 3 v_{x} &= \sqrt{ 13 } \\
-2v_{x} &= 3v_{y } \\
v_{z} &= 0 \\
\end{cases}\\
\begin{cases}
\frac{-13}{2}v_{y }&= \sqrt{ 13 } \\
v_{x} &= -\frac{3}{2}v_{y } \\
v_{z} &= 0 \\
\end{cases}\\
\begin{cases}
\frac{-13}{2}v_{y }&= \sqrt{ 13 } \\
v_{x} &= -\frac{3}{2}v_{y } \\
v_{z} &= 0 \\
\end{cases}\\
\end{align*}
$
#### Exercice 1 2