$ \begin{align*} \text{si n est pair} &:& x^{n}&= x^{\frac{n}{2}}*x^{\frac{n}{2}}\\ \text{si n est impair} &:& x^{n}&= x^{n//2}*x^{n//2}*x\\ \end{align*} $ $ x^{n}=x*x^{n-1} $ ----- L'énergie cinétique est la somme de toutes les travaux de toutes les forces conservatives comme le poids. $ \begin{align*} E_{c} &= \frac{1}{2} m v^{2}\\ E_{c} &= \frac{1}{2} J_{\Delta} \left(\frac{d \theta}{d t}\right)^{2} \end{align*} $ ---- L'énergie mécanique est l'énergie reçue par un système. C'est à dire le travail de toutes les forces non __conservatives__, comme les frottements ou autre. En général elle serra égal à une constante. ⚠ il faut qu'elle soit alors égale à 0 lorsqu'on la dérive. On aura donc: $ E_{m} = E_{c} + E_{p} $ ------ L'énergie potentiel est définie par la somme du travail de toutes les forces conservatives: $ E_{P} = \sum W_{A\to B} $ ---- On notera $J_{\Delta}$ le moment d'inertie par rapport à un axe: $ J_{\Delta} = \sum m_{i} r_{i}^{2} $ ---- $ \sum M_{O} = \sum m_{i} r^{2} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2} } = J_{\Delta} \frac{d^{2} \theta}{d t^{2} } $ ----- Le théorème du moment cinétique s'énonce ainsi: $\begin{align*} \frac{d}{dt} L_{O} &= \sum M_{O}(\vec{F_{i}})\\ L_{O} &= J_{\Delta} * \frac{d\theta}{dt} \end{align*} $ ----- __Ligne de champs__: une ligne de champs $F$ d'un champs de vecteur est une ligne qui est tangente aux vecteurs. C'est à dire: $ \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = F_{x}(x,y,z) \\ \dfrac{dy}{dt} = F_{y}(x,y,z) \\ \dfrac{dz}{dt} = F_{z}(x,y,z) \end{cases} $ ----- On appelle __circulation__ $\vec{V}$ le long de la courbe orientée $\gamma$, l'intégrale de: $ \int_{\Gamma} V(M) d \vec{M} = \int_{\Gamma} V(M) \cdot \vec{\tau} d l $ ----- On appelle __flux__ l'intégrale d'un vecteur sur une surface. On aura alors: $ \int \vec{V}(M) \vec{dS} = \int \vec{V}(M) \cdot \vec{n} dS = \int \vec{V}(M) \cdot \begin{pmatrix} \frac{\partial S}{\partial u} \times \frac{\partial S}{\partial v} \end{pmatrix} dS $ ---- Le __gradient__ en un point est le vecteur qui pointe vers l'endroit qui croit le plus d'une fonction (comme une dérivée mais à plusieurs dimension). $ \vec{\text{grad}} f = \vec{\nabla} f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z}\end{pmatrix} $