# Quantificateur $forall$ >[!definition] Quantificateur $forall$ 'quelque soit' > Soit $P(x)$ une propriété définie sur un ensemble $E$. > Alors le quantificateur **quelque soit** (noté $forall$) permet de définir l'énoncé quantifié "$forall x in E P(x)quot; qui est vrai si la propriété $P(x)$ est vraie pour **tous** les éléments $x$ de $e$ >[!exemple] >- L'énoncé: $forall x in [-3, 1] x^2 + 2x - 3 <= 0$ est vrai >- L'énoncé: $forall x in [-1, 1/2] x^2 + 2x - 3 <= 0$ est vrai aussi > - $forall n in NN (n-3) n > 0$ est faux, car il fonctionne pas avec $n=1$. > - $forall n in NN, forall x in RR_+ 1 + n x <= (1+x)^n$ est vrai >[!remarque] >Pour prouver qu'un énoncé avec un quantificateur $forall$ est faux, il faut juste trouver un seul contre-exemple >[!remarque] >Dans un énoncé quantifié les variables sont **muettes**. On pourrait écrire "$forall x in E P(x)quot; comme suit: $forall a in E P(a)$, $forall O in E P(O)$ # Quantificateur $exists$ >[!definition] Le quantificateur $exists$ 'il existe' >Soit $P(x)$ une propriété définie sur un ensemble $E$. >Le quantificateur "**il existe**" (noté $exists$) permet de définir l'énoncé quantifié "$exists x in E P(x)quot; qui est vrai si on peut trouver un élément $x$ dans $E$ tel que la propriété $P(x)$ est vraie. > >[!remarque] >Le quantificateur $exists$ nécessite qu'un seul membre soit vrai, alors que l'on peut en avoir plusieurs. ----- #### Existance unique >[!definition] >Si on veut en avoir qu'un seul membre on note: $exists! x in E P(x)$, on dira qu'il existe un **unique** élément $x$ dans $E$ vérifiant $P(x)$ (existence + unicité) >[!exemple] >- est vrai: $exists! x in RR^+ ln(x) = 1$ (il y a qu'un seul $x$ valide) >- est faux: $exists! x in RR^+ x > 1$ (il y a plusieurs $x$ valides) ---- ## Observations / propriétés >[!remarque] >Si $forall x in E " " P(x)$ est vrai, alors $exists x in E " " P(x)$ est vrai aussi (si tout $x$ sont vrai, il y a forcément un membre qui est vrai) >[!warning] >Manipuler avec précaution les énoncés de la forme "$exists ! x in E " " P(x)quot; car la notation "$exists !quot; ne désigne pas un nouveau quantificateur. >EN effet: $exists ! x in E " " P(x)$ est logiquement équivalent à $R_1$ $R_2$ ---- ### Les négations Si on veut faire une négation de chaque quantificateur: - Négation $forall x in E " " P(x)$ est $exists x in E " " "non"(P(x))$ - Négation $exists x in E " " P(x)$ est $forall x in E " " "non"(P(x))$ >[!exemple] Exemple: négation >- La négation de: "$forall n in NN (n-3)n > 0quot; est déjà fausse, alors la négation serra vraie: $exists n in NN (n-3)n <= 0$ >- La négation de: $exists n in RR " " x^2 = 4$ est déjà vraie, alors la négation serra fausse: $forall x in RR " " x^2 != 4$ >- Soit $P(x)$ une propriété définie sur un ensemble $E$ la négation de $E! x in E " " P(x)$ est: quot;non"(R_1) "ou" "non"(R_2)$ (cf poli pour la suite) ### Règles d'utilisations On peut combiner des quantificateurs de natures différentes. Par exemple: **tout nombres complexe possède au moins une racine carrée** exemple, s'écrit: $forall u in CC exists z in CC, z^2 = u$ - **Règle 1**: On peut permuter deux quantificateurs identiques - **Règle 2**: On ne peut pas permuter deux quantificateurs différents (note de prise de note: cette partie là est sur le poli en majorité, j'enverrais une version update plus tard) >[!exemple] >- (Règle 1) Les énoncéés $forall n in NN forall x in RR_+ " " 1 + n x <= (1+x)^n$ et $forall x in R_+$ ... (cf poli) >- l'énoncé: $forall x in RR exists y in RR x + y = 0$ équivaut a dire: pour tout $x$ il existe au moins un $y$ qui, lorsque on le rajoute à $x$, on a $0$ >[!exemple] >Pour prouver que $exists y in RR forall x in RR x + y = 0$ est faux revient à prouver: quot;non" (exists y in RR forall x in RR " " x + y = 0)$ soit: $y in RR exists x in RR " " x +y != 0$ >Et on peut vérifier que c'est faux car: >- $y = 15 ; x = 3 ; 15+3 = 18 != 0$ >- ... > >Mais la vrai **démonstration** est: >Soit $y in R$ (prenons un y quelconque dans $RR$): >- 1er cas: supposon $y != 0$, alors $x = 0$, $y+x = y+0 != 0$, car $y != 0$ >- 2e cas supposons $y = 0$ alors $x = 1$ convient ! car $0 + 1 != 0$ >[!remarque] >$overline(=)$ équivaut à dire 'c'est pareil logiquement' >[!warning] >Veillez respecter l'ordre des quantificateurs ! Permuter deux quantificateurs différents change l'énoncé qui n'aura donc plus la même signification. Par exemple soit $(u_n)_(n in NN)$ une suite réelle. >Dire que $(u_n)_(n in NN)$ est majorée s'écrit: >$exists M in RR " " forall n in NN u_n <= M$ >Bien sûr, on ne peut pas dire que cette propriété est vraie ou fausse car elle dépend de la suite $(u_n)_(n in NN)$. par exemple la propriété est: >- vraie pour la suite de terme général $u_n =^("def") sin(n)$ >- fausse pour la suite de terme général $u_n =^("def") n$ > >Permuter les deux quantificateurs on obtient: >$forall n in NN exists M in RR u_n <= M$ >On remarque que cet énoncé est toujours vrai (prendre par exemple $M = u_n + 1$) puisque $u_n <= u_n + 1$. >Quand bien même, ça reste vraie dans certains cas, la définition reste très différente est donc, l'ordre change le contexte. >Majoré: tout les termes sont plus petit qu'un certains nombre, exemple $sin(x)$ est majorée par 3 car $sin(x) < 3$