# Préambule >[!definition] Le français c'est difficile >Soit __$x_{0}$__ un réel. On appelle __voisinage__ de $x_{0}$ toute partie de $\mathbb{R}$ contenant un intervalle de la forme $]x_{0}-r, x_{0}+r[$ avec $r>0$. >![[1 cm 11 - Limites et continuité en un point 2023-12-13 08.06.12.excalidraw.svg]] >- __voisinage a droite__ de $x_{0}$: toute partie de $\mathbb{R}$ contenant l'intervalle sous la forme: $[x_{0}, x_{0}+r[$ ($r>0$). >- __voisinage a gauche__ de $x_{0}$ toute partie de $\mathbb{R}$ contenant l'intervalle de la forme: $]x_{0}-r, x_{0}]$ ($r>0$). >[!exemple] >Soit l'ensemble $\{0\} \cup [1,2[$ de $\mathbb{R}$. >- $\{0\} \cup[1,2[$ est un voisinage de $\frac{3}{2}$, de $\sqrt{ 2 }$ mais pas de 0. >- $\{0\} \cup[1,2[$ est un voisinage à droite de 1. ----- Dans ce cours toutes les fonctions sont à valeurs réelles. - On notera $\mathcal{D_{f}} \inc \mathbb{R}$ le domaine de définition d'une fonction $f$. - On notera $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique d'une fonction $f$. __Au voisinage de__: - On dira qu'une fonction $f$ est __définie__ - Au voisinage de $x_{0}$ lorsque $f$ est définie sur un voisinage de $x_{0}$ ou un voisinage à droite de $x_{0}$ ou un voisinage à gauche de $x_{0}$ __sauf potentiellement en $x_{0}$__. Par exemple, le voisinage de racine carrée à 0. Ou encore la fonction $\frac{\sin x}{x}$ elle est pas définie en 0, mais elle est définie au voisinage de $0$. - Au voisinage de $+ \infty$ si $f$ est définie sur $]a;+\infty[$ où $a \in \mathbb{R}$. - Au voisinage de $- \infty$ si $f$ est définie sur $]-\infty, a[$ où $a \in \mathbb{R}$. >[!exemple] >La fonction $x \to \frac{1}{x-1}$ est définie au voisinage de 1, mais pas 1. >La fonction $x \ln x$ est définie au voisinage de 0. # Limites finies et infinies >[!definition] >Une fonction $y$ admet $+\infty$ pour limite en $+\infty$ lorsque pour __pour tout intervalle $[Y, +\infty[$, $f(x)$__ appartient à cet intervalle __à condition que x soit suffisamment grand__. >![[1 cm 11 - Limites et continuité en un point 2023-12-13 08.19.12.excalidraw.svg]]. >Cela revient à dire, dès que notre $x$ est dans le vert, alors $f(x)$ serra toujours supérieure au $f(X)$. >Cela revient à dire: >$\forall y \in \mathbb{R}^{+*} \, \, \exists x \in \mathbb{R}^{*+}\, \, (x \geq X \implies f(x) \geq y)$ Avec $x \in [X, +\infty[$ et $f(x) \in [y, +\infty[$. ### Asymptote oblique C'est une droite d'équation $ax+b$ où, si $\lim_{ x \to \pm\infty }[f(x)-ax+b]=0$ Avec $(a,b)\in \mathbb{R}^{*} \times\mathbb{R}$, alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique, au graphe de $f$ au voisinage de $\pm \infty$. ![[1 cm 11 - Limites et continuité en un point 2023-12-13 08.24.43.excalidraw.svg]] >[!exemple] >Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ par: >$f(x)=\frac{x^{3}-3x^{2}+3x-3}{(x-2)^{2}}$. >La droite d'équation $y=x+1$ est une asymptote oblique à $\mathcal{C}_{f}$ en $+\infty$ et en $-\infty$ car: $f(x)-(x+1)=\epsilon(x)$ où $\epsilon(x)$ tend vers 0. ```desmos-graph f(x) = (x^3-3x^2+3x-3)/((x-2)^2) g(x) = x+1 ``` ## Limites finies et infinies >[!definition] >Une fonction $f$ admet $l$ pour limite en $+\infty$ lorsque pour tout intervalle centré en $l$, $f(x)$ appartient à __cet intervalle à condition que $x$ soit suffisament grand__. >![[1 cm 11 - Limites et continuité en un point 2023-12-13 08.30.11.excalidraw.svg]]. >En gros dès que $x$ il est dans le vert, l'image est forcément dans le rouge, ou de manière plus rigoureuse: >$\forall \epsilon > 0\,\, \exists x \in \mathbb{R}^{*+} \,\, (x \geq X \implies l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon)$ >__Asymptote horizontale__: >Si $\lim_{ x \to \infty} f(x)=l$ alors la droite d'équation $y=l$ est une asymptote horizontale au graphe de $f$ au voisinage de $\pm \infty$ ## Limite infinie en un point >[!definition] >Une fonction $f$ admet $+\infty$ pour limite en $x_{0}$ lorsque pour tout intervalle $[Y,+\infty [$, $f(x)$ appartient à cet intervalle __à la condition que $x$ soit suffisamment proche de $x_{0}$__. ![[1 cm 11 - Limites et continuité en un point 2023-12-13 08.38.27.excalidraw.svg]] Si $\lim_{ x \to x_{0} } f(x) = \pm \infty$ alors la droite d'équation $x=x_{0}$ est asymptote verticale au graphe de $f$ au voisinage de $x_{0}$. $ \forall y \in \mathbb{R}^{+*}\,\, \exists \eta>0 (x_{0}-\eta \leq x \leq x_{0}+\eta \implies f(x) \geq y) $ avec $x \in [x_{0}-\eta, x_{0}+\eta]$ ### Limite finie en un point >[!definition] >__Une fonction $f$ admet le réel $l$ pour limite en $x_{0}$ lorsque__ pour tout intervalle centré en $l$ (rouge), $f(x)$ appartient à cet intervalle (vert) à la condition que $x$ soit suffisamment proche de $x_{0}$. >$\forall \epsilon < $ rip la phrase ## Opération algébriques sur les limites Soient $f, g$ deux fonctions, définies au voisinage de $\alpha \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ Soient $l,l'$ appartient à $\mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$. On note: $\begin{align*} \lim_{ x \to \alpha } f(x) = l\\ \lim_{ x \to \alpha } g(x) = l'\\ \end{align*} $ On peut déduire que: - CF POLI 10 11 12 car le tableau est un enfer. C'est comme au lycée, parfois on a des opération indéterminées. # Fonctions générales ### Cas des polynôme et des fractions rationnelles La limite en $\pm \infty$ d'une fonction polynomiale est égale à la limite de son monôme de plus haut degré. __Par exemple:__ $\begin{align*} &= \lim_{ x \to -\infty } 3x^{3} - 5x - 17 \\ &= \lim_{ x \to -\infty }x^{3}\left( 3-\frac{5}{x^{2}} - \frac{17}{x^{3}} \right)\\ &= \lim_{ x \to -\infty }x^{3}(3)\\ &= -\infty \end{align*} $ >[!remarque] >Il y aura toujours un chieur en math qui viendra te tapper sur les doigts car un truc que tout le monde comprend n'a pas de sens, alors qu'on sait toujours pas justifier $1+1$ (fin si, mais il y aura toujours des axiomes) ### Cas des fraction rationnelle La limite en $\pm \infty$ d'une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient simplifiée des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Par exemple: $ \begin{align*} &= \lim_{ x \to +\infty } \frac{3x^{2}-2x+7}{5x^{3}+12x^{2}-3} \\ \leftrightarrow &= \lim_{ x \to +\infty }\frac{3x^{2}}{5x^{3}}\\ &= \lim_{ x \to +\infty }\frac{3}{5x} = 0 \end{align*} $ ----- ## Autres fonctions usuelles 1. $\lim_{ x \to -\infty } \frac{\ln x}{x}=0$ 2. $\lim_{ x \to 0^+} x\ln x=0$ 3. $\lim_{ x \to \infty} \frac{e^{x}}{x}=+\infty$ 4. $\lim_{ x \to -\infty} x e^{x}=0$ 5. $\lim_{ x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1$ 5. $\lim_{ x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$ 1. 6. ----- $\begin{align*} &= \frac{1-\cos x}{x^{2}}\\ &= \frac{2\sin^{2}\left( \frac{\theta}{2} \right)}{x^{2}}\\ &= \frac{1}{2} \end{align*} $ >[!remarque] >On peut utiliser la règle de l'hopital, si on veut ---- ## De nouvelles formes indéterminés ? ### Forme avec les puissance Soient $\alpha \in \mathbb{R} \cup [\pm \infty]$ et $x \to u(x) >0$ et $x \to v(x)$ deux fonctions définies au voisinage de $\alpha$. Soit $f(x) = u(x)^{v(x)}$ au voisinage de $\alpha$. Que vaut $\lim_{ x \to \alpha } f(x)$ ? $ \begin{align*} f(x) &= u(x)^{v(x)}\\ &= e^{v(x)\ln(u(x))} \end{align*} $ Maintenant, on étudie les nouvelles formes indéterminées à partir de $v(x)\ln(u(x))$, à cause de $[A]:v(x)$ et $[B]:\ln(u(x))$ 1. Si $v(x) \to{0}$ 1. SI $u(x) \to +\infty$ alors $\ln(u(x)) \to +\infty$ et $v(x)\ln(u(x)) \to \infty \times 0$ est indéterminée 1. SI $u(x) \to 0^{+}$ alors $\ln(u(x)) \to -\infty$ et $v(x)\ln(u(x)) \to -\infty \times 0$ est indéterminée 1. Si $v(x) \to \pm \infty$ 2. Su $u(x) \to {1}$ alors $\ln(u(x)) \to {0}$ et $v(x)\ln(u(x)) \to \pm \infty \times {0}$ ---- ## Limite de fonction composée >[!proposition] >Soient $\alpha$, $l$ et $l'$ appartenant à $\mathbb{R} \cup [\pm \infty]$. On considère: >- une fonction $f$ définie au voisinage de $\alpha$ >- une fonction $g$ définie au voisinage de $l$ >Si $\lim_{ x \to \alpha }f(x)=l$ et $\lim_{ y \to l }g(y)=l'$ >alors: $\lim_{ x \to \alpha } g(f(x)) = l'$ ### Passage à la limite dans les inégalités >[!remarque] >Les maths ont trouvés un problèmes aux inégalités dans le monde 😮 >[!proposition] >Soit $\alpha \in \mathbb{R} \cup {\pm \infty}$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x) \leq g(x)$ au vosiinage de $\alpha$. Si elles admettent des limites finies en $\alpha$, càd, si $f(x)\to l' \in \mathbb{R}$ et $g(x) \to_{x\to a} l' \in \mathbb{R}$, alors: >$l\leq l'$. >En particulier, lorsque l'on est passé à la limite dans l'inégalité,. En particulier si $g(x) \geq0$ au voisinage de $\alpha$ alors: [CF POLI] ## Ordre et limites >[!proposition] >Soient $\alpha \in \mathbb{R} \cup {\pm \infty}$, et $f,g,h$ trois fonctions. >1. Supposons qu'au voisinage de $\alpha$, on a l'encadrement: >$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ >2. Si $f$ et $h$ admettent la même limite finie $l$ en $\alpha$ (ici $l \in \mathbb{R}$) alors $g$ admet aussi $l$ pour limite en $\alpha$. [CF POLI] ### Limites de suites Le résultat suivant fait le lien naturel entre les notions de convergence d'une suite et limite d'une fonction; >[!proposition] >Soient $\alpha$ dans $\mathbb{R} \cup \pm\infty$ et $f$ une fonction définie sur un intervalle $\mathcal{I}$. On suppose que $\alpha$ désigne un point ou une extrémité de $\mathcal{I}$ . ON a alors l'équivalence suivante: >La fonction f admet pour limite $l$ en $\alpha$ si et seulement si toute suite $u_{n}$ appartenant à $\mathcal{I}$ et uqi converge vers $\alpha$ est transformée par la fonction $f$ en une suite $(f(u_{n}))_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge vers $l$. En gros, si la suite tend vers un bitin, et que l'on met la suite dans la fonction, alors ça tendra vers f de bitin. sachant $ \lim_{ x \to \alpha } f(x) = l \leftrightarrow \{ \lim_{ n \to \infty } u_{n} = \alpha \implies \lim_{ n \to \infty } f(u_{n}) = l \} $ >[!remarque] Représentation du schéma pour les aveugles: TAC TAC TAC TAC TAC TAC --- >[!remarque] >En pratique, on utilise souvent ce résultat pour montrer qu'une fonction $f : \mathcal{I} \to \mathbb{R}$ n'a pas de limite en $\alpha$. Comment procède-t-on ? Il y a deux techniques : >1. Exhiber une suite $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \inc \mathcal{I}$ qui converge vers $\alpha$ et telle que la suite $f(u_{n})_{n \in NN}$ __diverge__. C'est à vous de deviner quelle suite $(u_{n})$ prendre ! >2. Exhiber deux suite $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \inc \mathcal{I}$ et $(v_{n})_{n \in \mathbb{N}} \inc \mathcal{I}$ qui convergent toutes les deux vers $\alpha$ telles que les deux suites $f((u_{n}))_{n \in \mathbb{N}}$ et $f(v_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ convergent vers deux limites __distinctes__. Et c'est encore à vous de deviner quelles uites fonctionnent. >[!exemple] >Soit $f(x) = \cos\left( \frac{1}{x} \right)$ n'a pas de limite en $0$ car: >$\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{n \pi} \to_{n\to + \infty} 0 \end{cases}$ > Donc $f(u_{n}) = f\left( \frac{1}{\pi n} \right) = \cos\left( {\pi n} \right) = (-1)^{n}$, elle __diverge__ ### Continuité en un point >[!definition] > Soit $f : \mathcal{D}_{f} \to \mathbb{R}$ une fonction définie au voisinage de $x_{0}$ mais aussi en $x_{0}$. On dit que $f$ est continue en $x_{0}$ lorsque: > $\lim_{ x \to x_{0} } f(x) = f(x_{0}) $ > On dit que $x_{0}$ est un __point de discontinuité__ de $f$ lorsque $f$ n'est pas continue en $x_{0}$ Insistons sur les hypothèses: pour étudier la continuité d'une fonction en un point $x_{0}$, nous devons supposer que cette fonction est définie __au voisinage__ de $x_{0}$ __mais également en $x_{0}$__. >[!remarque] >La méthode de tracer la fonction avec la main levée est toujours utile pour $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. $ \lim_{ x \to x_{0} \, x>x_{0} } f(x_{0}) $.... >[!warning] >Une fonction peut posséder en un point une même limite à gauche et à droite sans pour être continue en un point. Pour s'en convaincre, considérons la fonction $f$: >$x \to \begin{cases} -x \text{ si } x<0\\1 \text{ si } x=0\\x \text{ si } x>0 \end{cases}$ > Pourtant la limite à gauche et a droite sont toutes les deux égales mais, elles ne sont pas égales en $0$. #### Prolongement par continuité >[!exemple] >$f(x): x \to \frac{\sin x}{x}$, elle n'est pas continue en $0$ car elle n'est pas définie en 0. Pour ce genre de fonction on connais la limite, on peut alors la prolonger pour qu'elle soit définie (même car pour $g(x)=x^{x}$) >[!definition] > Soit $f : \mathcal{D}_{f} \to \mathbb{R}$ une fonction définie au voisinage de $x_{0}$ et $x_{0} {\notin} \mathcal{D}_{f}$. On dit que l'on peut __prolonger $f$ par continuité en $x_{0}$__ lorsque $f$ admet une limite __finie__ $\mathcal{l}$ en $x_{0}$; On considère alors la fnouvelle fonction notée $\tilde{f}$ définie sur $\mathcal{D}_{f} \cup {x_{0}}$: par > $\begin{align*} \tilde{f}(x) &= \begin{cases} f(x) &\text{ si } x \neq 0 \\ l &\text{ si } x = 0 \\ \end{cases} \end{align*}$ > La fonction $\tilde{f}$ est ainsi construite pour être continue en $x_{0}$. >[!exemple] >Considérons la fonction $f$ définie $\mathbb{R}^{*}$ >$\forall x \in \mathbb{R}^{*} \, \, f(x) = \frac{(-1)^{E\left( \frac{1}{x} \right)}}{x}$ >Clairement la fonction n'est pas définie en 0. >Clairement la fonction $f$ n'est pas définie en 0. Mais est-elle prolongeable par continuité en $0$ ? Intéressons-nous à la suite de terme $\frac{1}{2n} \to 0$ (en $n \to +\infty$). >Donc $f(u_{n})=f\left( \frac{1}{2n} \right)= \frac{(-1)^{E(2n)}}{\frac{1}{2n}}=2n*-1^{2n}=2n \to +\infty$