>[!remarque] >Ce qu'il faut retenir du cours c'est: >$f =_{\alpha} o(g) \leftrightarrow \frac{f(x)}{g(x)}\to {0}$ (en sachant que $g(x)$ ne doit pas s'annuler sinon tu divise par 0 et c'est légal seulement en physique) >[!definition] >"C'est super-ingénieur" $ \begin{align*} f_{x_{0}} = o(g) \, &\text{ f est négligable devant g en } x_{0} \to \lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \\ f_{x_{0}} \simeq o(g) \, &\text{ f est équivalent à g en } x_{0} \to \lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = 1\\ f_{x_{0}} = o(g) \, &\text{ g est négligable devant f en } x_{0} \to \lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = +\infty \\ \end{align*} $ # Une fonction négligeable devant une autre ? >[!definition] >Alalala, ça définie qu'il y a des fonctions plus importantes que les autres ? >choké déçu >[!definition] >Soient $\alpha \in \mathbb{R} \{\pm \infty\}$ et $f$, $g$ deux fonction définies au voisinage de $\alpha$. La fonction $f$ est dite __négligeable__ devant $g$ au voisinage de $\alpha$ lorsqu'il existe un voisinage de $\mathcal{V}$ de $\alpha$ et une fonction $x \to \epsilon(x)$ définie sur $\mathcal{V}/\{\alpha\}$ tels que: >> à condition que $g(x)$ ne s'annule pas en $\alpha$ >1. $f(x)=g(x)*\epsilon(x)$ pour tout $x \in \mathcal{V} / \alpha$ >2. $\lim_{ x \to \alpha } \epsilon(x)=0$. > > On note alors: $f=O_{\alpha}(g)$ ou $f=_{\alpha} o(g)$ ou $f(x) = O_{\alpha}(g(x))$ >[!proposition] >Soient $\alpha \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ et $f$, $g$ deux fonction définies au voisinage de $\alpha$. Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $\alpha$ alors: >$f =_{\alpha} o(g) \leftrightarrow \lim_{ x \to \alpha }\frac{f(x)}{g(x)}=0$ >[!exemple] >- $x^{3}=_{+\infty} O(x^{5})$ $x^3$ est alors négligeable en face de $x^{5}$, car $\frac{x^{3}}{x^{5}}=x^{-2}=\lim_{x \to +\infty}0$ >- $\ln x =_{+\infty} o(x)$ car $\lim_{ x \to \infty }\frac{\ln(x)}{x} = 0$ >- $1$ est négligeable par rapport à $x$ sur $+\infty$. >- $\sin (x)=_{0} o(\sqrt{ \mid x\mid })$ >[!proposition] >Soit $(a,b)$ deux réels, alors si $a<b$ alors: $x^a=_{+\infty}o(x^b)$ et $x^b=_{0+}o(x^{a})$ ---- >[!proposition] >- Dire que $f=_{\alpha}o(1) \leftrightarrow \lim_{ x \to \alpha }f(x)=0$ >- Si $f=_{\alpha}o(g)$ et $g =_{\alpha}o(h)$ alors $f=_{\alpha}o(h)$ >- Si $f=_{\alpha}o(h)$ et $g$ est bornée au voisinage de $\alpha$, alors: >$f \times g =_{\alpha}o(h)$ >En particulier si $f=_{\alpha}o(h)$ alors $\lambda f =_{\alpha}o(h)$ >- Si $f_{1}=_{\alpha}o(g)$ et $f_{2}=_{\alpha}o(g)$ alors $f_{1}+f_{2}=_{\alpha}o(g)$ >- Si $f_{1}=_{\alpha}o(g_{1})$ et $f_{2}=_{\alpha}o(g_{2})$. ----- ## Logarithmes et fonction puissance >[!definition] >__Par croissance comparées__: rappelons que pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ >$\lim_{ x \to +\infty } \frac{\ln x}{x^{n}}=0$ >$\lim_{ x \to 0^{+} } x^{n}\ln x = 0 $ >Plus générrallement $\lim_{ x \to \infty }\frac{(\ln x)^{a}}{x^{b}}=0$ >$\lim_{ x \to 0^{+} } x^{b}(|\ln x|) ^{a}=0 $ >En l'infini et en $0$, les fonctions puissances (d'exposant strictement positif) l'emportent sur les puissances du logarithme ! >[!remarque] De plus: $u^{a} = e^{a\ln u}$ >[!proposition] >Pour tout $a$ et pour tout $b >0$: >$(\ln x)^{a}=_{+\infty}o(x^b)$ et $|\ln(x)|^{a}=_{0+}o\left( \frac{1}{x^b} \right)$ ----- >[!definition] >- $\lim_{ x \to +\infty } \frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty$ >- $\lim_{ x \to -\infty } x^{n}e^{x}=0$ >En gros l'exponentielle l'emporte toujours sur les puissances ## Fonctions équivalentes >[!definition] >Deux fonctions équivalentes auront la même limite. >Soient $\alpha \in \cup \{\pm \infty\}$ et $f,g$ deux fonctions définies au voisinage $\alpha$. La fonction $f$ est dite équivalente à $g$ au voisinage de $\alpha$ lorsqu'il existe un voisinage $\mathcal{V}$ de $\alpha \eta une fonction $x\to \Lambda(x)$ définie sur $\mathcal{V}/\{\alpha\}$ tels que: >1. $f(x)=g(x)\times \Lambda(x)$ pour tout $x \in \mathcal{V}/\{\alpha\}$ >2. $\lim_{ x \to \alpha } \Lambda(x)=1$ > >On note alors: $f \sim_{\alpha} g$ ou encore $f(x) \sim_{\alpha} g(x)$ >[!proposition] >Soient $\alpha \in \mathbb{R}$ [CF POLI] >[!exemple] >On va démontrer que $sh(x) \sim_{0} x$ >![[1 cm 12 - Comparaison locale des fonctions 2023-12-22 09.27.47.excalidraw.svg]] >On va donc prendre: >$\begin{align*} &= \frac{\text{sh}(x)}{x}\\ &= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\ &= e^{-x}\frac{(e^{2x}-1)}{2x}\\ \end{align*}$ > Or: $\lim_{ x \to 0 } e^{-x}=1$ et $\lim_{ x \to 0 } \frac{e^{2x}-1}{2x}=\lim_{ t \to \infty } \frac{e^{t}-1}{t}=1$. Ainsi: > AInsi, $\lim_{ x \to 0 } \frac{sh(x)}{x}=1 \times 1 = 1$, c'est alors à dire: $sh(x)\sim_{\alpha}x$ >[!warning] >On ne peut pas utiliser cette méthode pour la fonction nulle $g(x)=0$. En effet, cela reviendrait à faire une division par 0. >Ainsi, on pourrait noter: >$\begin{align*} &\begin{cases} f(x)&= g(x)\Lambda(x)\\ \Lambda(x) &\to 1 \end{cases}\\ &\begin{cases} f(x)&= 0\Lambda(x)\\ \Lambda(x) &\to 1 \end{cases}\\ &\begin{cases} f(x)&= 0\\ \Lambda(x) &\to 1 \end{cases} \end{align*}$ > Ainsi, il faut qu'elle soit nulle au voisinage de $\alpha$. ---- >[!proposition] >__cas d'une limite finie et non nulle__: >Soient $\alpha \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ et $f$ une fonction définie au voisinage de $\alpha$. Soit $l \in \mathbb{R}$. On a alors l'implication: >$\left[ \lim_{ x \to \alpha } f(x) = \mathcal{l} \text{ et } l \neq 0 \right] \implies f \sim_{\alpha} l $ >[!exemple] >Par exemple: >- $e^{x}+\sin(x) \sim_{0} 1$. >[!warning] >Il faut bien faire attention si le réel est un 0, par exemple >$\begin{align*} ch(x) \sim_{0} 1\\ ch(x)-1 \sim_{0} ? \end{align*}$ > Ici, on n'a pas le droit de dire que $ch(x)-1=0$ en utilisant cette méthode. >[!remarque] >C'est une relation d'équivalence. En effet, si $\alpha \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ et $f,g,h$ désignent des fonctions définies au voisinage de $\alpha$ alors les propriétes suivantes: >1. __Réflexivité__: $f\sim_{\alpha} f$ >2. __Symétrie__: $f\sim_{\alpha}g\implies g \sim f$ >3. machin truc: $f \sim g$ et $g \sim h$ implique que $f \sim h$ ---- >[!proposition] >Soient $\alpha \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ et $f,g,h$ trois fonctions définies au voisinage de $\alpha$. On a l'implication: >$\left[f \sim g \text{ et } g=_{\alpha}o(h)\right] \implies f=_{\alpha}o(h)$ Également: $ f(x)-f(x_{0}) \sim_{x_{0}} f'(x_{0})(x-x_{0}) $ >[!exemple] >$e^{x}-1 \sim \mathcal{A}$ >$f(x) = e^{x}$ et $f(0)=1$, ainsi: >$f(x)-f(0)\sim f'(0)(x-0)$ >$e^{x}-e^{0} \sim e^{0}(x-0)$ >$e^{x}-1 \sim_{0} x$ >[!exemple] >$\begin{align*} f(x)&= \sin x\\ f'(x) &= \cos x\\ \text{donc:}\\ \sin(x)-\sin(0) &\sim_{0} \cos(0) (x-0)\\ &= x\\ f(x) &\sim_{0} x \end{align*}$ >[!exemple] >$\begin{align*} \ln(1+x) &\sim_{0} \mathcal{A}\\ \ln(1+x)+\ln(1+0) &\sim_{0} [\ln(1+x)]'(x-0)\\ &\sim_{0} \left( \frac{1}{1+x} \right)\mid_{x=0} x\\ \ln(1+x)&\sim_{0} x \end{align*}$ >[!exemple] >$\begin{align*} \ln(x) &\sim_{1} \mathcal{A}\\ \ln(x)-\ln(1) &\sim_{1} \ln'(1)(x-1)\\ \ln(x) &\sim_{1} \frac{1}{1}(x-1)\\ \ln(x) &\sim_{1} x -1 \end{align*}$ ![[1 cm 12 - Comparaison locale des fonctions 2024-01-10 08.21.03.excalidraw.svg]] ## Equivalence et changement de variable >[!proposition] >Soient $\alpha \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ et $\phi$ défini au voisinage de $\alpha$ tel que: >$\lim_{ x \to \alpha } \phi(x) = \beta \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty \} $ >Soient $f$ et $g$ deux fonction définies au voisinage de $\beta$, ne s'annulant pas au voisinage de $\beta$. Si $f(y)\sim_{\beta}g(y)$ alors: >$f(\phi(x)) \sim_{\alpha} g(\phi(x))$ >[!exemple] >Cherchons un équivalent en $0$ à $\ln(\cos x)$. Pour cela, posons: $y = \cos x$. On a: $\lim_{ x \to 0 } \cos(x)=1$. Or $\ln y\sim_{1} y-1$ ainsi: >$\ln(\cos(x)) \sim_{0} \cos(x)-1$ >$\cos(x)-1 \sim_{0} -\frac{x^{2}}{2}$, on peut l'appliquer par transitivité. >(CF suite infinie du cosinus I guess) ## Compatibilité entre les équivalents >[!proposition] >Soient pleins de fonction $f,f_{1},f_{2},g,g_{1}\dots$ >__Compatibilité de la multiplication__: $[f_{1} \sim g_{1}]$ et $[f_{2} \sim g_{2}]$ >alors: $f_{1} * f_{2} \sim g_{1} * g_{2}$ >__Compatibilité avec l'inverse__: si $f$ et $g$ ne s'annulent pas, alors: $\frac{1}{f} \sim \frac{1}{g}$ [EXEMPLE] Ainsi, on peut faire de la magie avec: $\begin{align*} &= \frac{1-\cos(\theta)}{2} = \sin^{2}\left( \frac{\theta}{2} \right)\\ &= \cos(\theta)-1 =- 2\sin^{2}\left( \frac{\theta}{2} \right) \end{align*} $ Ainsi: $\begin{align*} \cos(x) - 1 &= -2 \sin^{2}{\frac{x}{2}}\\ \cos(x) - 1 &\sim -2 \sin\left( \frac{x}{2} \right) \sin\left( \frac{x}{2} \right)\\ &\sim -2 \frac{x}{2} \frac{x}{2} \\ &\sim -\frac{x^{2}}{2} \end{align*} $ ### Compatibilité avec l'addition ? >[!remarque] >Les serveurs dans les restaurants adorent cette technique >[!warning] >__Attention__ Si l'équivalence est compatible avec la multiplication elle n'est en revanche _a priori_ pas compatible avec l'addition ! Par exemple : >$x+x^{2} \sim_{0} x$ >$-x+x^{3}\sim_{0} -x$ >Ainsi: >$\begin{align*} (x+x^{2})+(-x+x^{3}) \sim x^{2}+ x^{3} \sim x^{2}\\ (x+x^{2})+(-x+x^{3}) \sim x+(-x) \sim 0\\ \end{align*}$ > > << et là c'est le drame >> Un autre exemple qui ne fonctionne pas: $ \begin{align*} \sqrt{ 1+x^{2} } &\sim x\\ \frac{\sqrt{ 1+x^{2} }}{x} &= \sqrt{ 1+\frac{1}{x^{2}} } \to_{x \to +\infty} 1\\ \sqrt{ 1+x^{2} } - x &\nsim_{+\infty} x-x = 0 \end{align*} $ Mais on a le droit avec: $\sqrt{ 1+x^{2}}+x=1$ mais pourquoi ? > (waaaa téma la transition de fou) >[!proposition] >Soient $\alpha \in \mathbb{R} \cup \pm \{\infty\}$ et $f_{1}$ $f_2$ et $g$ des fonctions définies au voisinage de $\alpha$. SI $f_{1} \sim_{\alpha} c_{1} \times g(x)$ et $f_{2} \sim_{\alpha} c_{2} \times g(x)$ avec $(c_{1},c_{2}) \in \mathbb{R}^{*2}$. Alors: >- $f_{1}(x)+f_{2}(x) \sim_{\alpha}(c_{1}+c_{2})\times g(x)$ lorsque $c_{1}+c_{2} \neq 0$ ### Peut-on composer des équivalents par des applications >[!warning] >Est ce que: >$f \sim g \implies \ln(f)\sim \ln(g)?$ >C'est dangereux ! Par exemple: >$\begin{align*} x+1 \sim_{(+\infty)} x \\ e^{x+1} \nsim e^{x} \end{align*}$ > En effet: $\frac{e^{x+1}}{e^{x}} = e\neq 1$ Ainsi, on ne peut pas composer des équivalents par l'exponentielle. Mais parfois on peut. >[!proposition] >Soient $\alpha \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ et $f$, $g$ des fonctions définies au voisinage de $\alpha$. Si $f(x) \sim_{\alpha} g(x)$ et $f(x)-g(x)\to_{x \to \alpha} 0$ alors $e^{f(x)}\sim_{\alpha} e^{g(x)}$ >[!proposition] >Soient $\alpha \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ et $f,g$ deux fonctions continues et strictement positives au voisinage de $\alpha$ sauf éventuellement en $\alpha$. >__Compatibilité avec le logarithme népérien__: >Si $f(x) \sim_{\alpha} g(x)$ et $\lim_{ x \to \alpha } g(x) \in [0,1[ \cup ]1,+\infty[ \cup \{+\infty\}$ alors: >$\begin{align*} \ln(f(x)) \sim_{\alpha} \ln(g(x)) \end{align*}$ > __Compatibilité avec les puissances__ (réeles): > Soit $\beta \in \mathbb{R}^{*}$. Si $f(x) \sim_{\alpha} g(x)$ alors: $f(x)^{\beta}\sim_{\alpha} g(x)^\beta$ >[!warning] >Lorsque $\lim_{ x \to \alpha } g(x)=1$, ne surtout pas composer $f(x) \sim_{\alpha} g(x)$ par le logarithme néépérien. par exemple : >$\begin{align*} 1+x \sim_{0} 1 \\ \ln(x+1) \nsim_{0} \ln(1) \end{align*}$ >[!shitpost] ><< _La fonction elle est 'prrrrrrrrrrrrrrrrrblblbl'_ >> >- Future Médaille fields - Sturm 2024 >[!proposition] >Soient $\alpha \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ et $f,g,h$ trois fonctions définies au voisinage de $\alpha$ on a l'implication: >$[f\sim_{\alpha}h \text{ et } g=_{\alpha}o(h)] \implies f+g \sim_{\alpha} h$ >[!exemple] >$\sin(x) + x^{2}\sim_{0} x$ >Car $\sin(x) \sim_{0} x$ et $x^{2}=_{0}O(x)$ >[!exemple] >$\sqrt{ x^{2} +1}+\ln(x) \sim_{+\infty} x$ >Car $\begin{align*} x^{2}+1 &\sim_{+\infty} x^{2}\\ (x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}&\sim_{+\infty} (x^{2})^{\left( \frac{1}{2} \right)}\\ \sqrt{ x^{2}+1 } &\sim_{+\infty} |x| (=x \text{ car x >0}) \end{align*}$ > Et $\ln x =_{+\infty} O(x)$ ----- ## Application au calcul de limites La recherche d'équivalents est un moyen souvent efficace et rapide pour déterminer des limites. >[!proposition] >Soient $\alpha \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ et $f,g$ deux fonctions définies au voisinage de $\alpha$ . Si $f \sim_{\alpha} g$ alors: > - Ou bien $f$ et $g$ ont me limite (finie ou infinie) en $\alpha$; >- Ou bien $f$ et $g$ n'ont pas de limites en $\alpha$. >[!exemple] > Calculons $\lim_{ x \to +\infty }\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x}$ On a: $\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x} =^{def} e^{x\ln\left( 1+\frac{1}{x} \right)}$. > Par exemple on étudie $\ln (1+\frac{1}{x}) \sim_{+\infty} \ln(1)$ et là c'est le drame. > En effet c'est pas bon. Il faut voir autrement. > Posons: $y = \frac{1}{x}$ > Alors: $\ln(1+y)\sim_{0}y$ (formule à connaitre), ainsi $\ln\left( 1+\frac{1}{x} \right) \sim_{+\infty} \frac{1}{x}$. > Donc: $\begin{align*} \ln\left( 1+y \right) &\sim_{0} y\\ \ln\left( 1+\frac{1}{x} \right) &\sim_{+\infty} \frac{1}{x}\\ x\times \ln\left( 1+\frac{1}{x} \right) &\sim_{+\infty} x \times \frac{1}{x}\\ &\sim_{+\infty} 1 \end{align*}$ >[!warning] >Deux fonctions qui ont même limite en $\alpha$ ne sont pas nécessairement équivalents en $\alpha$. >Par exemple on a: >$\begin{align*} \lim_{ x \to 0 } x^{2}&= 0\\ \lim_{ x \to 0 } x &= 0 \end{align*}$ > Mais écrire que $x^{2} \sim_{0}x$ est __FAUX__ ! car $\frac{x^{2}}{x} \to_{x\to0}0\neq 1$. >[!proposition] >__CEPENDANT__: soit $l \in \mathbb{R}$. Si $\lim_{ x \to \alpha } f(x) = l$ de même pour $g$. Uniquement si $l \neq 0$ on peut dire: $f \sim_{\alpha} g$. > ----- # Cas des suites réelles >[!rappel] Rappelons que les suites sont des fonctions avec $n$ à la place de notre $x$ qui tend vers $+\infty$. ## Négligeabilité des suites >[!definition] >Soient $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ de même que $v_{n}$ deux suites réelles. La suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{R}}$ est dite négligeable devant $v_{n}$ lorsqu'il existe une suite $\epsilon_{n}$ telle que: $u_{n}=v_{n} \times\epsilon_{n}$ ## Équivalence des suites >[!definition ] >Soient $u_{n}, v_{n}$ alors on aura: >$u_{n} = v_{n} \times \Lambda_{n}$ avec $\Lambda_{n}$ qui tend vers $1$. >On dit alors que $v_{n}$ et équivalente à $u_{n}$. ----- >[!proposition] >Soient $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites réelles. Si ces deux suite sont __équivalentes__ alors elles sont de __même nature__, càd: >- $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge ssi $(v_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge dans ce cas elles ont même limite. >- $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$ (resp $-\infty$) ssi $(v_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$ (resp $-\infty$). >[!exemple] >$\frac{\ln(n+1)}{(2n+1)^{2}}$ converge vers 0 car: >$\begin{align*} n+1 &\sim_{+\infty} n \\ \ln(n+1) &\sim_{+\infty} \ln(n)\\ \text{De plus:}\\ 2n+1 &\sim_{+\infty} 2n \\ (2n+1)^{2} &\sim_{+\infty} (2n)^{2}\\ \text{Donc:}\\ &\sim_{+\infty} \frac{\ln(n+1)}{(2n+1)^{2}} \\ &\sim_{+\infty} \frac{\ln(n)}{(2n)^{2}}\\ &\sim_{+\infty} \frac{\ln(n)}{4n^{2}}\\ &\sim_{+\infty} 0 \end{align*}$