suite [[1 cm 2 - raisonnements en mathematique]] # Analyse synthèse >[!remarque] Puissance de la méthode analyse synthèse > On prend une équation et on travail quand même alors que l'on sait pas si ça donnera une solution. C'est ça l'analyse synthèse. >[!remarque] >Si $g$ de $x$ est pair, alors $g(x) = g(-x)$ >Si $h$ de $x$ est impair, alors $h(x) = -h(-x)$ >[!exemple] (suite de l'exemple fonctions pairs / impaires) >$Mg$ est paire càd $\forall x \in \mathbb{R}g(-x) = g(x)$ >Défi ?: Soit $x \in \mathbb{R} g(-x) = \frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=g(x)$ >Donc, elle est paire. >[!warning] >Il faut soit procéder par équivalence, on a pas besoins de faire de "synthèses". On peut dire: on a procédé par équivalence. Cependant ## Raisonnement par récurrence **But**: Il sert à montrer qu'un énoncé de la forme suivante: $\forall n \in \mathbb{N} n \geq n_{0} \space P(n)$ est un énoncé vrai. **Principe**: si la propriété $P(n_{0})$ est vraie et si l'implication $P(n) \implies P(n+1)$ est vraie pou rtout entier $n \geq n_{0}$ alors la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_{0}$. **Méthodologie**: elle s'effectue ainsi en deux étapes: - **Étape d'initialisaiton**: On vérifie que $P(n_{0})$ est vraie. En général on utilisera des conventions comme: $1^{0}$ - **Étape d'hérédité**: on montre ensuite, pour tout $n \geq n_{0}$ que si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ est vraie. On considère pour cela un entier naturel $n \geq n_{0}$ quelconque. On suppose la propriété $P(n)$ vraie (c'est notre hypothèse de récurrence) et on en déduit que la propriété $P(n+1)$ est vraie aussi. >[!warning] >Attention: il faut bien identifier $P(n)$ avant de se lancer dans une récurrence: >$ \forall n \in \mathbb{N} \forall x \in [0 + \infty[\space 1 + nx \leq (1+x)^{n}$ >[!remarque] >Si on a 2 quelque soit, on peut facilement les intervertirs. >[!exemple] >Montrons que $(1+2+3+\cdots+n)^2=1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}$ >pour tout $n \in N^{*}$. L'énoncé est: << Pour tout entier naturel $n \geq 1 P(n)$ avec $P(n) =^{\text{def}} (1+2+3+\cdots+n)^2=1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}$ > >**Étape d'initialisation**: $P(1)$ est vraie, car $1^{2}=1^{3}$ > >**Étape d'hérédité:** spot $n \in \mathbb{N}^{*}$ supposons que la propriété est vraie au rang $n$ et montrons qu'elle est vraie au rang $n+1$. càd: $(1+2+\cdots+n+n+1)^{2}=S^{2}+(2n+1)S+(n+1)^{2}$ >Or on a: $S=\frac{n(n+1)}{2}$ (sommes des $n$ premiers entiers) et d'après l'hypothèse de récurrence: $S^2$ [CF POLI] #todo >[!warning] Attention aux raisonnements hâtifs !! >En général, c'est des "donc donc donc donc..." > Suivez attentivement chacune des étapes suivantes: > $\begin{align*}\\ x^{2}&= x-1 \space \text{0 n'est pas solution, divisons par x membre à membre}\\ \frac{-1}{x}&= x-1\\ x^{2}&= \frac{-1}{x}\\ x^{3}&= -1 \space \text{Donc, -1 est solution}\\ -1&= 2 \end{align*}$ > Donc, pour tout $i \in [[1,4]]$ soit $S_{i}$ l'ensemble des solutions de l'équation $(1)$. Donc, si on implique à chaque équation: > - $S_{1} \leftrightarrow S_{2}$ > - $S_{3} \leftrightarrow S_{4}$ > - $S_{2} \rightarrow S_{3}$ on n'a pas une réciproque, puisque $-1 \not{\in}$ >[!remarque ] > ![[1 cm 3 - Raisonnement par analyse synthèse episode 2 2023-09-27 08.28.20.excalidraw.svg]]