## Qu'est ce qu'une relation >[!definition] relation >Une relation >![[1 cm 4 - Relation fonction et application 2023-09-27 08.35.12.excalidraw.svg]] >Soient $A$ et $B$ deux ensembles (par exemple, des tomates et des patates). Une relation $\mathbf{R}$ de $A$ vers $B$ est un triplet $\mathbf{R} =^\text{def}(A,\Gamma,B)$ avec: $\Gamma \in A * B =^\text{def} = {(x,y) | x \in A, y \in B}$. >On dit alors que $A$ est l'**ensemble de départ** de $\mathbf{ R}$ >On dit alors que $B$ est l'**ensemble d'arrivée** de $\mathbf{ R}$ >On dit alors que $\Gamma$ est le **graphe** de $\mathbf{R}$ > Si $(x,y)\in \Gamma$ alors on dit que $x$ est en relation avec $y$ par $\mathbf{ R}$ et on note $x \mathbf{ R}y$. L'élément $y$ est appelé **image** de $x$ par $\mathbf{R}$ et $x$ est appelé antécédent de $y$ par $\mathbf{R}$ > Ainsi, [CF POLI] On peut représenter une relation $\mathbf{ R}$ par un __fdiagramme sagittal__ dans lequel une flèche va de $x$ vers $y$ lorsque $x \mathbf{R}y$ ![[1 cm 4 - Relation fonction et application 2023-09-27 08.41.01.excalidraw.svg]] >[!remarque] >Ainsi, quand on va manipuler des fonctions, on va essayer d'avoir qu'une seule image par valeur. ## Les fonctions >[!definition] >Une relation $(A,\Gamma, B)$ est appelée une __fonction__ de $A$ vers $B$, que l'on note $f$, lorsque tout élément de $A$ est en relation avec au plus un élément de $B$. Càd (un ou aucun). On note alors: $f: A \rightarrow B$ ou $A\rightarrow^{f}B$ >Soit $(x,y) \in \Gamma$. Pour signifier que $y$ est en relation avec $x$ par $f$ on écrit: $y=f(x)$ ou $x |\to y = f(x)$. [CF POLI] #todo ![[1 cm 4 - Relation fonction et application 2023-09-27 08.45.53.excalidraw.svg]] ## Application >[!definition] >Soient $A,B$ deux ensembles et $f$ une fonction de $A$ dans $B$. >- Le __domaine de définition__ de $f$ noté $D_{f}$ est l'ensemble des éléments de $A$ ayant une image par $f$; >- Une fonction est appelée __application__ lorsque son domaine de définition est l'ensemble de départ tout entier. [CF POLI] #todo ---- >[!exemple] >On pourrait avoir comme __fonction__: $x \in \mathbb{R} \to \ln(x) \in \mathbb{R}$. C'est bien une __fonction__. Mais, $x \in \mathbb{R}^{+*} \to \ln(x) \in \mathbb{R}$ est une __application__. >On utilisera le terme fonction avec un sous entendu une __application__. ### Égalité d'application [CF POLI] #todo ## Qu'est ce qu'une image d'une application >[!definition] >Soient $A,B$ deux ensembles non vides et $f: A \to B$, une application. Soit $A' \in A$ On appelle __image de f de $A'$__ le sous ensemble de $B$ noté $f(A')$ défini par: >$f(A')=^{def} {f(x) | x \in A'} \in B$ >En particulier, __l'image de f__, que l'on note $\text{Im } f$ est l'image par $f$ de tout l'ensemble de départ $A$. Càd: $\text{Im} f =^{\text{def}} f(A)={f(x) | x\in A} \in B$ (pleure pour faire le schéma) ![[1 cm 4 - Relation fonction et application 2023-09-29 09.03.34.excalidraw.svg]] >[!definition] >L'image c'est un sous ensemble de l'image d'arrivée. Donc, par exemple $f(a)=\alpha$, alpha est l'image. Peut être qu'elle serra à tout le sous ensemble d'arrivé. __Illustration de la propriété__: soit $f : A \to B$ une application Si, $A' \in A$ alors $f(A') \in f(A) =^{\text{Def}} \mathrm{Im}\space f \in B$ ![[1 cm 4 - Relation fonction et application 2023-09-29 09.07.35.excalidraw.svg]] (schéma plus tard #todo [CF POLI]) Soit $A$ un ensemble [CF POLI] #todo >[!definition] Composition d'application >Soient $A,B,C$ trois ensembles et $f : A \to B$ et $g : B \to C$ deux applications. L'__application composée__ de $f$ et $g$ est l'application de $A$ dans $C$ notée: $g \circ f$ définie par: >$\forall x \in A (g \circ f)(x) =^{\text{Def}} g(f(x)) \in C$ ![[1 cm 4 - Relation fonction et application 2023-09-29 09.10.28.excalidraw.svg]] [CF POLI] #todo L'ensemble $B$ apparait ainsi comme un ensemble _tremplin_. >[!exemple] >Tout ensemble $A$ non vie, on a : $id_{a} \circ id_{a}=id_{a}$ car: >$\forall x \in A (id_{a}) \circ id_{a}(x)=^{\text{def}} id_{a}(id_{a}(a))=id_{a}(x)=x$ >càd: $id_{a}(x) \circ id_{a}(x)=id_{a}(x)$ # Injective >[!definition] >Soient $A$, et $B$ deux ensembles non vides et $f : A \to B$ une application. On dit que $f$ est __injective__ lorsque tout élément de $B$ admet au plus (= un ou aucun) un antécédent par $f$. >Il faut être capable de dire, que chaque élément a un unique antécédent ou aucuns. En pratiue pour montrer que $f$ est injective on montre que: $ \forall \in A \times A [f(x) = f(x') \implies x = x'] $ ![[1 cm 4 - Relation fonction et application 2023-09-29 09.18.28.excalidraw.svg]] Ainsi, $f: A \to B$ n'est pas injective lorsqu'il existe deux éléments de $A$ distinct qui ont même image par $f$. ---- $ x=x' \space \implies f(x) = f(x') $ car c'est une fonction (normalement c'est logique). ---- # Surjectif >[!definition] > Soient $A$, $B$ deux ensembles non vides $f : A \to B$ une application. On dit que $f$ est surjective lorsque tout élément de $B$ admet __au moins__ (un ou plusieurs) un entécédent par $f$. > (En gros, pour chaque image $B$ on trouves forcément un $A$ ) Autrement dit: $ \forall y \in B \space{ }\exists x \in A \space y=f(x) $ càd: $f: A \to B$ est surjective lorsque: $f(A)=B$. Soit les ensembles: *![[1 cm 4 - Relation fonction et application 2023-09-29 09.30.21.excalidraw.svg]]* ![[1 cm 4 - Relation fonction et application 2023-09-29 09.27.31.excalidraw.svg]] Ainsi, pour démontrer que la fonction n'est pas surjective, on va chercher un antécédent $B$ qui n'a pas d'antécédent. # Bijectif >[!definition] >Soient $A$, $B$ deux ensembles non vides. Une application $f:A\to B$ est dite bijective lorsqu'elle est surjective et injective. Autrement dit: $f : A \to B$ est bijective lorsque tout élément de $B$ admet __exactement__ un antécédent par $f$. Càd: $ \forall y \in B \space \exists! x \in A y = f(x) $ Soit $y$ dans $B$. L'existence d'un élément $x \in A$ tel que $y = f(x)$ vient de la surjectivité de $f$. L'unicité de cet élément vient de l'injectivité de $f$. >[!exemple] >Soit: $x \to^{\ln} \ln(x)$ >Ce n'est pas mentir de dire que $x \in \mathbb{R}$ et $\ln x \in \mathbb{R}$ C'est une fonction. >Or, pour que ce soit une application, on va dire que $x \in \mathbb{R}^{+*}$ >__Bijective__: elle est bijective de $\mathbb{R}^{+*}$ dans $\mathbb{R}$. ### Renversons les flèches ![[1 cm 4 - Relation fonction et application 2023-09-29 09.45.09.excalidraw.svg]] [CF POLI] #todo La bijectivité d'une application $f : A \to B$ implique donc qu'à tout élément $y \in B$ on peut lui associer un __unique__ élément $x \in A$. Cela définit une nouvelle application (nous la noterons $f^{-1} : B \to A$) >[!warning] >Il faut faire attention que $f^{-1}$ existes ! Elle existes seulement si $f$ est bijective. ## Réciproque d'une application >[!definition] >Soient $A,B$ deux ensembles non vides. Si $f : A \to B$ est une application __bijective__ alors l'application notée $f^{-1}: B \to A$ qui à $y \in B$ lui associe l'unique élément $x \in A$ tel que $y = f(x)$ est appelée réciproque de $f$. Ainsi, une application bijective implique $f^{-1}$ qui est elle aussi bijective; On a également: $ \forall x \in A \space f^{-1}(f(x)) = f^{-1} \circ f = id_{a} = x $ COURS 23-10-04 >[!proposition] >Une application $f : A \to B$ est bijective __si et seulement si__, il existe une application $g : B \to A$ vérifiant. >$g \circ f = id_{a} \text{ et } f \circ g = id_{b}$ >Dans ce cas $g=f^{-1}$ >En gros, si on trouve une fonction $f^{-1}$ et qu'elle est bijective et que ça bijection réciproque est $g$ qui est parfois donnée. Il suffit de tester les deux égalités. >[!exemple] >Soit $A$ un ensemble non vide. L'application identité de $A$ est bijective et sa réciproque est elle-même, càd: >$ \begin{align*}\\ id_{a}^{-1}&= id_{a}\\ id_{a} \circ id_{a} &= a \end{align*} $ # transformer une fonction en bijective >[!warning] >L'injectivité n'implique pas la bijectivité. Cependant, on peut toujours transformer une application injective en une application bijective. Il manque la __surjectivité__. On peut donc transformer la fonction pour qu'elle devienne surjective. Il suffit pour cela de restreindre l'ensemble d'arrivée à l'image de cette application. En d'autres termes, si une application $f : A \to B$ est injective alors l'application $f : A \to \mathrm{Im} f$ est bijective. Splendide ! >[!exemple] >Soient deux ensembles : $A =^{def} \{a,b,c\}$ et $B =^{def} \{\alpha, \beta, d, y\}$ >Si, on a un élément sans antécédent dans $B$, alors on va faire un sous ensemble $B$ où la fonction serra bijective. >[!proposition] >Soient $f : A \to B$ et $g: B \to C$, deux applications. >- Si $f$ et $g$ sont injectives alors $g \circ f$ est injective >- Si $f$ et $g$ sont surjective alors $g \circ f$ est surjective >- Si $f$ et $g$ sont bijective alors $g \circ f$ est bijective >$\begin{align*} (g \circ f)^{-1}&= f^{-1}\circ g^{-1}\\ (g(f(x)))^{-1} &= f^{-1}(g^{-1}(x)) \end{align*}$