# Fonctions logarithmes >[!definition] Rappels >On appelle fonction logarithme népérien et on note $\ln$ l'unique primitive sur $]0; + \infty[$ de la fonction $t \to \frac{1}{t}$ qui s'annule en $1$. En d'autres termes: >$\forall x \in ]0; +\infty[ \text{ } \ln x =^{\text{def}}\int^{x}_{1} \frac{dt}{t} $ Ce logarithme est appelé "népérien" en hommage à John Napier qui est à l'origine des premières tables logarithmiques en mathématiques (but : transformer un produit en somme). Ainsi, la fonction logarithme néperien est définie sur $]0; + \infty[$. Elle est dérivable (donc continue), parce que c'est la primitive d'une fonction sur son intervalle. >[!warning] >Une fonction continue n'est pas forcément dérivable. >[!remarque] >Valeur absolue de $x$, elle est continue mais elle n'est pas dérivable en tout point (plus précisément en $0$). Donc elle vérifie: $ \left[\forall x \in ]0; \infty[ \ln x = \frac{1}{x}\right] $ >[!proprietes] >$\ln (a * b) = \ln a + \ln b$ >$\ln (x^{n}) = n \ln x$ >[!warning] >Si $a$ et $b$ sont négatifs, alors: >$\ln a*b = \ln |a| + \ln |b|$ ### Limites $\begin{align*} \lim_{ x \to \infty } \frac{\ln x}{x^{n}}&= 0 \\ \lim_{ x \to 0^{+} } (\ln x)(x^{n})&= 0\\ \lim_{ x \to 0 } \frac{\ln 1+x}{x}&= 1\\ \end{align*} $ >[!rappel] >$f : D \to \mathbb{R}$ >Soit: $x \in D$ >On considère que $f$ est dérivable en $x_{0}$ c'est équivalent à écrire: >$\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} = f'(x_{0}) \text{existes}$ Ainsi, on aura: $ \lim_{ x \to 0 } \frac{\ln(x+1) - \ln (1+0)}{x-0} = \ln(x+1)' = \frac{1}{x+1}|_{x=0} = 1 $ Ainsi, la fonctin $\ln$ étant strictement croissante et continue sur $]0; +\infty[$ alors elle réalise une bijection de $]0; +\infty[$ sur $\mathbb{R}$. Ainsi, il y a un nombre réel connu $e$, $\ln e = 1$ ## Fonction de logarithme en base $a$ >[!definition] >Soit $a > 0$, et $a \neq 1$. On appelle __fonction logarithme de base $a$__ et on note __$\log_{a}$__ l'application définie sur $]0; +\infty[$ par: >$\forall x \in ]0; +\infty[ \space \log_{a}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln (a)} $ >On comprend pourquoi $a \neq 1$. On aura alors: $ \forall x > 0 (\log_{a}(x))' = \frac{1}{(\ln a) * x} $ Ainsi, elle est strictement monotone sur $]0; +\infty[$, mais sa croissance dépend du signe de $\ln a$ (càd, si $a > 1$, alors elle est croissante et inversement si $a < 1$). # Fonctions exponentielles >[!définition] >On définis la fonction exponentielle comme la fonction qui fait une bijection réciproque de la fonction $\exp$. On appelle la note alors $\exp$ comme étant la réciproque que $\ln$ dans $\mathbb{R}$. la fonction exponentielle tend vers l'infini (score: vraiment vraiment vite). >[!remarque] >$\begin{align*} \lim_{ x \to \infty } \frac{\exp(x)}{x^{n}} &= + \infty \\ \lim_{ x \to -\infty } x^{n} \exp(x) &= 0\\ \lim_{ x \to 0 } \frac{\exp(x)-1}{x} &= 1 \space[\text{ CF JUSTIFICATION}] \end{align*} $ > On sait que $\exp$ est dérivable dans $\mathbb{R}$, donc on peut écrire: > $\exp' |_{x=0} = \lim_{ x \to 0 } \frac{\exp(x)-\exp(0)}{x-0}=\frac{\exp(x)-1}{x}=1$ ## Fonction exponentielle de base $a$ >[!definition] >On définis la fonction $\exp$ de base $a$ avec $a>0$, et on note $a^{x}$, l'application définie sur $\mathbb{R}$ par: >$\forall x \in \mathbb{R} =^{\text{def}} \exp(x\ln a) >0$ >Cas particulier: $e^{x}=\exp(x \ln e)=\exp x$ Ainsi, la fonction $a^{x}$ est dérivable (donc continue) sur $\mathbb{R}$ et on a: $ \forall x \in \mathbb{R} = \ln (a) * a^{x} $ >[!preuve] >Car, soit $a>0$, et $x \in \mathbb{R}$, >$a^{x}\' = \exp(x \ln a)\' = \ln a * \exp(x \ln a) = a^{x} * \ln a$ ## Preuve de la réciproque >[!rappel] >Si $f : A \to B$ et $f^{-1} : B \to A$, on aura: >$(f^{-1}\circ f)(x) = x\space \forall x \in A$ >$(f\circ f^{-1})(x) = x\space \forall x \in B$ Soit $a>0$, $a\neq 0$, alors quelle est la réciproque de la fonction $\log_{a} : ]0; +\infty[ \to \mathbb{R}$ ? On vérifie facilement les deux points : - Soit $x \in \mathbb{R}$ on a: $\begin{align*} \log_{a}[a^{x}] &= \log_{a}[\exp(x \ln a)]\\ &= \frac{\ln{\exp(x \ln a)}}{\ln a} = x \end{align*} $ - Soit : $x \in ]0; +\infty[$: $\begin{align*} a^{\log_{a}(y)}&= \exp(\log_{a}(y)\ln(a))\\ &= \exp\left( \frac{\ln{y}}{\ln a}\ln(a) \right)\\ &= y \end{align*} $ ----- ## Cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique >[!remarque] >C'est utile en acoustique, et dans d'autres domaines. On rappelle que toute fonction $f$ : $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ peut s'écrire comme la somme d'une __fonction paire__ et d'une __fonction impaire__: $ \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2} $ Ainsi, >[!definition] >On appelle __fonction cosinus hyperbolique__ et on note $ch$ ou $\cosh$ la partie paire de la fonction exponentielle. >On appelle __fonction sinus hyperbolique__ et on note $sh$ ou $\sinh$ a partie impare de la fonction exponentielle: >$ch(x) = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} > 0$ >$sh(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ On sait alors que: $ch(x) + sh(x) = e^{x}$ ### Étude de $\sinh$ On sait que $x \to \sinh(x)$ est impaire et donc: $\sinh (0)=0$, et elle est __dérivable__ (donc continue) sur $\mathbb{R}$. On a : $ \forall x \in \mathbb{R} (\sinh(x)')= \cosh(x) $ car: $ [\sinh(x)]'= \left[\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right]' = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}= \cosh(x) $ Elle est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$. __Limites__: - $\lim_{ x \to -\infty } \sinh (x) = -\infty$ - $\lim_{ x \to +\infty } \sinh (x) = +\infty$ ### Étude de $\cosh$ On sait que $x \to \cosh(x)$ est paire et $\cosh(0)=1$, et elle est __dérivable__ (donc continue) (car somme de fonction dérivable) sur $\mathbb{R}$. On a : $ \forall x \in \mathbb{R} (\cosh(x)')= \sinh(x) $ car: $ [\cosh(x)]'= \left[\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right]' = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}= \sinh(x) $ Elle est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$. __Limites__: - $\lim_{ x \to -\infty } \cosh (x) = +\infty$ - $\lim_{ x \to +\infty } \cosh (x) = +\infty$ ## Formules de trigonométrie hyperbolique $ \begin{align*} \cos^{2}(a)+\sin^{2}(a) &= 1\\ \cos (a+b)&= \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\\ \sin (a+b)&= \sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(b)\\ \end{align*} $ ----- >[!proposition] >Pour tout $x \in \mathbb{R}$, de même de $a, b \in \mathbb{R}^{2}$ $\cos^{2}(x)-\sinh(x)^{2} = 1$ >$\begin{cases} \cosh(x + y) &= \cosh(x)\cosh(y) + \sinh(x)\sinh(y) & \text{<3} \\ \cosh(x - y) &= \cosh(x)\cosh(y) - \sinh(x)\sinh(y) & \\ \sinh(x + y) &= \sinh(x)\cosh(y) + \cosh(x)\sinh(y) & \text{<3} \\ \sinh(x - y) &= \sinh(x)\cosh(y) - \cosh(x)\sinh(y) & \\ \end{cases}$ >[!remarque] >Pour nos formules de trigonométries, on peut utiliser comme technique, de remplacer tout les cosinus par $\cosh(x)$ et tout les sinus par $i\sinh(x)$ # Fonctions puissances ## Fonction puissance entière positive >[!definition] >Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. On appelle __fonction puissance d'exposant $n$__, l'application qui à $x \in \mathbb{R}$ associe le réel noté $x^{n}$ défini par: >$\forall x \in \mathbb{R} = x^{n} =^{\text{def }} x * x * x \dots$ la fonction $x \to x^{n}$ est toujours croissante sur $[0; +\infty[$. Elle est paire si $n$ est pair, et impaire si $n$ impaire. #### Fonction racine $n-$ième >[!definition] >Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$, on appelle __fonction racine n-ième__ l'applicaiton qui à $x \in [0, +\infty[$ associe le réel noté $\sqrt[n]{x}$ c'est l'unique réel positif ou nul vérifiant: $\sqrt[n]{x }^{n}=x$ Elle est dérivable sur $]0; +\infty[$ (car on retrouve une tangeante verticale en $x= 0$). >[!warning] > Si $n$ est impair, la racine $n$-ième d'un réel $x < 0$ a aussi un sens. Par exemple $\sqrt[3]{-125}=-5$ ---- ## Fonction puissance d'exposant réel >[!definition] >Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ On appelle __fonction puissance d'exposant réel $\alpha$__ l'application qui à $x \in ]0; +\infty[$ associe le réel noté $x^{\alpha}$ défini par: $\forall x \in ]0;+\infty[ x^{\alpha}=e^{\alpha \ln{x}} > 0$ > >[!warning] >Elle n'est pas définie en 0 Par définition, on aura la dérivée pour tout $x > 0$: $ (x^{\alpha})' = (e^{\alpha\ln(x)})'= \alpha e^{(\alpha-1) \ln {x}} $ $ \begin{align*} (-x)^{\alpha} = e^{\alpha}* e^{\ln(-x)}\\ (\frac{-x}{e})^\alpha = e^{\ln(-x)}\\ (\frac{-1 * x}{e})^\alpha = e^{\ln(-x)} \end{align*} $ ----- #### Propriétés $ \begin{align*} x^{\alpha+\beta} &= e^{(\alpha+\beta)\ln(x)}\\ \end{align*} $ >[!warning] >Ne pas oublier que lafonction puissance d'exposant réel est définie uniquement sur $]0;+\infty[$ ----- ## Fonctions exponentielles en exponent >[!definition] >Soit $x \to f(x)$ et $x \to u(x)$ deux fonctions à valeurs réelles et définies sur une partie non vide $D$ de $\mathbb{R}$ telle que: >$\forall x \in D \space u(x) > 0$ >On appelle __fonction u puissance v__ l'application $x \to u(x)^{v(x)}$ définie sur $D$ comme suit: >$\forall x \in D \space u(x)^{v(x)} = e^{v(x)\ln(u(x))}$ Si, $x> 0$, alors $(-x)^{\frac{1}{2}}=i(x)^{\frac{1}{2}}$ $ \begin{align*} &= i(x)^{\frac{1}{2}}\\ &= ie^{0.5\ln x} \end{align*}$ Ainsi, $-x^{a}=i ke^{a\ln x}$ ? >[!remarque] >Pour le schéma de la courbe qui fait un U, $f(0)$ n'existe pas Donc, chaque nombre peut être représenté sous la forme: $\begin{align*} e^{i\pi} |x| &= -x\\ (e^{i\pi} |x|)^{\alpha} &= (-x)^{\alpha}\\ (e^{i\pi \alpha} |x|^{\alpha}) &= (-x)^{\alpha}\\ (e^{i\pi \alpha} e^{\alpha \ln |x|}) &= (-x)^{\alpha}\ \end{align*} $