>[!note] > Cf note sur la tablette >[!definition] >__multiplicité__: soient $P$ un polynôme et $\alpha \in \mathbb{C}$. On dit que $\alpha$ est une racine de multiplicité h de $P$ lorsqu'il existe un polynôme #todo [CF POLI] ---- >[!definition] >Caractérisation d'une racine multiple >Soient $P$ un polynôme et $\alpha \in \mathbb{C}$. La scalaire $\alpha$ est une racine du polynôme $P$ de multiplicité $h$ __si et seulement si__: $0 = P(\alpha) = \frac{d}{\frac{d}{dP}^{h-1}d \alpha} P=\frac{d}{d \alpha}^{h-1} P$ et donc, on aura: $\frac{d}{d \alpha}^{h} P \neq 0$ >[!theoreme] Théorème d'Alembert Gauss >Tout polynôme à coefficients dans $\mathbb{C}$, non constant, possède au moins une racine complexe. On pourra alors dire que pour un polynôme de degré 10, on aura 10 racines (en sachant que certaines peuvent se superposer) . On dira que le $\mathbb{C}$ est algébriquement clos. - __Ordre 3:__ méthode de tartaglia-cardan - __Ordre 4__: ferrari (uno reverse de l'élève de cardan) >[!warning] >Dès que l'on a une grande racine, il y en aura forcément une racine simple en IE, et on devra faire des divisions euclidiennes ---- ### Factorisation irréductible dans $\mathbb{C}$ On aura donc pour $P$ une fonction polynôme à coef dans $\mathbb{C}$ de degré $n$: $ \forall z \in \mathbb{C} P(z)= a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dots + a_{0} $ Avec les $a$ dans $\mathbb{C}$ et $a_{n} \neq 0$. Si $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\dots, \alpha_{m}$ sont des racines de $P$ avec pour chacunes d'entre elles leur multiplicité $h_i$. Alors: $h_{1}+h_{2}+\dots+h_{m}=n$. On aura une factorisation: $ a_{n} * (z-\alpha_{1})^{h_{1}}* (z-\alpha_{2})^{h_{2}}\dots (z-\alpha_{m})^{h_{m}}$ ---- ### Cas des polynômes à coefficients réels Soit P, une fonction polynôme à coefficient dans $\mathbb{R}$. Le scalaire $\alpha \in \mathbb{C}$ est racine de multiplicité $h$ de $P$ si et seulement si, $\overline{\alpha}$ est racine de multiplicité $h$ de $P$ >[!warning] >__Attention__: les racines d'un polynômes à coefficients réels ne sont pas toujours réelles. >[!remarque] >Toute fonction polynôme réelles de degré impair, admet au moins une racine réelle (les autres sont soit réelles, soit complexes conjuguées) ---- >[!rappel] >Un polynôme à coefficient réel qui a des racines complexes aura toujours les conjugués de ces racines en tant que racines additionnelles ## Identité remarquables utiles - $z^{3}+z'^{3} = (z+z')(z^{2}-zz'+z'^{2})$ - $z^{3}-z'^{3} = (z-z')(z^{2}+zz'+z'^{2})$ -----