# Résolution de systèmes linéaires >[!definition] >On appelle __système linéaire__ de $n$ équations à $p$ inconnues à coefficients $\mathbb{K}$. (On dit également un système linéaire de type $(n,p)$ ou $n \times p$). Un ensemble d'équations de la formes: >$\begin{cases} a_{(1,1)}x_{1} + \dots + a_{(1,p)}x_{p} = b_{1} \\ a_{(2,1)}x_{1} + \dots + a_{(2,p)}x_{p} = b_{2} \\ a_{(2,1)}x_{1} + \dots + a_{(2,p)}x_{p} = b_{2} \\ \dots\\ a_{(n,1)}x_{1} + \dots + a_{(n,p)}x_{p} = b_{n} \\ \end{cases}$ > Où les inconnues sont $x_{1},\dots,x_{p} \in \mathbb{K}$ et les données sont tout les $a$. Alors quand on trouve des solutions on appellera ça un $p$-uplet. (en gros chaque solution est un couple de $p$ valeurs, on peut avoir qu'une solution). > On dira que le __système est homogène__ si tout les membres $b$ sont égaux à 0. >[!warning] >__Story time sturm__: tout les systèmes linéaires n'ont pas forcément de solutions. On peut aussi en avoir une infinité ---- >[!definition] >__Système surabondant__: plus d'équation d'inconnus >__Système sousabondant__: moins d'équation que d'inconnus > ### Interprétation géométrique - Un système linéaire $(2,2)$ représente l'intersection de deux droites. - Un système linéaire $(3,3)$: représente l'intersection de 3 plans. ----- Soit $\mathcal{S}$ l'ensemble des $p$-uplets ($x\dots$) vérifiant les $n$ équation du systèmes $S_{n\times p}$ alors: $\begin{align*} \mathcal{S} = \mathcal{H}_{1} \cap \mathcal{H}_{2} \cap \dots \cap \mathcal{H}_{n}\\ \end{align*} $ >[!definition] >On dit qu'un système linéaire est: >- __possible__: lorsqu'il admet au moins une solution >- __impossible__ lorsqu'il n'admet aucune de solution. __Objectif__ - Il est double: - Déterminer si un système linéaire possède des solutions, et si oui, combien - Avoir une méthode de résolution permettant de calculer toutes les solutions de ce système linéaire >[!remarque] >Pour un système homogène, on a toujours le $p$-uplet nul qui est solution (la solution triviale). ---- >[!definition] >- Système triangulaires >On dit qu'un système linéaire caré (autant d'équation d'inconnus): > $\begin{cases} a_{(1,1)}x_{1} &+ \dots &+ a_{(1,p)}x_{p} &= b_{1} \\ &+a_{(2,2)}x_{1} &+ \dots &+ a_{(2,p)}x_{p} &= b_{2} \\ &, &, \dots &+ a_{(3,p)}x_{p} &= b_{3} \\ \dots\\ &,&,&, a_{(n,p)}x_{p} &= b_{n} \\ \end{cases}$ Un système triangulaire possède une unique solution. En pratique elle s'obtient par remontée, càd: en partant de la dernière équation, puis en remontant jusqu'à la première équation. ### Système équivalents: >[!definition] >Deux systèmes linéaires sont dits __équivalents__ lorsqu'ils ont le même ensemble de solutions. - Echange deux ligne: $L_{i} \leftrightarrow L_{i'}$ - Multiplier une ligne par un coefficient non nul: $L_{i} \leftarrow L_{i} \alpha$ - cf: poly ## Méthode du pivot de Gauss >[!exemple] Soit un système linéaire à coefficients $\mathbb{K}$, de type $(n,p)$: > $S_{n \times p}\begin{cases} a_{(1,1)}x_{1} + \dots + a_{(1,p)}x_{p} = b_{1} \\ a_{(2,1)}x_{1} + \dots + a_{(2,p)}x_{p} = b_{2} \\ a_{(2,1)}x_{1} + \dots + a_{(2,p)}x_{p} = b_{2} \\ \dots\\ a_{(n,1)}x_{1} + \dots + a_{(n,p)}x_{p} = b_{n} \\ \end{cases}$ > __méthode de résolution__: elle s'effectue en 3 phases: >- Élimination >- Suivie d'une phase de discussion >- suivie d'une phase de remontée (éventuellement) >Soit $m \in \mathbb{R}$ on cherche $(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}$ on aura: >$ \begin{cases} x&+y& &= m \\ &+y&+z &= 2 \\ x&+2y&+z &= 3 \\ \end{cases}$ > 1. (Étape 1) On va éliminer le $x$ avec $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ > $ S' \begin{cases} x&+y& &= m \\ &+y&+z &= 2 \\ &+y&+z &= 3-m \\ \end{cases}$ > Ainsi, ici, on a éliminé tout les $x$ des autres lignes. > En général, on ferra sous la forme: > $ L_{n} \leftarrow L_{n} - \frac{a_{{n_{1}}}}{a_{x_{1}}}L_{x}$ > (Ici, on remplaces les lignes $n$ pour garder seulement la ligne $x$) ------ Ainsi, à une certaine étape on va avoir un système __échelonné__, équivalent au système initial. __Rang__: d'un système linéaire: le nombre $r$ de lignes dans lesquelles il reste des inconnues. Si tu t'es pas foiré en IE: c'est censé être plus petit que le nombre d'inconnues. ##### Phase de discussion On aura donc une unique solution, ou un système (une droite, ...), on dira qu'il est __compatible__. Si le système n'a pas de solution il est __incompatible__. ##### Phase de remontée (uniquement si le système est compatible) __Étape allègement__ (a la stalin), on supprime dans le système échelonné toutes les équations inutiles de la forme (0=0). - Si $r=p$ le système est un système triangulaire d'inconnues. - SI $r < p$ on passe au second membre $p-r$ inconnues (paramètres) Alors le système est triangulaire. __Étape de remontée__: