#cours ------ # Structure d'espace vectoriel ## Préambule Dans ce cours nous considérerons: - $\mathbb{K} (\mathbb{K} = \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C})$ muni des opérations usuelles $+_{\mathbb{K}}$ et $\times_{\mathbb{K}}$. Les éléments de $\mathbb{K}$ sont appelés des __scalaires__. Nous les notons: $\alpha, \beta, \gamma, a,b,c,x,y,z\dots$ - Un ensemble $E$ muni d'une addition (notée '$+) et d'une multiplication par un scalaire (notée '$\cdot) On aura: $\forall x \in E \,\, \forall x' \in E \space \,\, x+x'\in E$$\forall x \in E \,\, \forall \alpha \in \mathbb{K} \space \,\, x \cdot \alpha \in E$ ----- >[!definition] >On dit que $E$ est un __espace vectoriel sur $\mathbb{K}$__ lorsque: >On aura: >- $\forall x,x', x'' \in E (x+x')+x'' = x + (x'+x'')$ >- $\forall x,x' \in E x+x' = x' + x$ >- $\exists 0_{E} \in E$ tel que: $\forall x \in E 0_{E} + x = x$ >- $\forall x,x', x'' \in E (x+x')+x'' = x + (x'+x'')$ [CF POLI] ### Espaces vectoriels fondamentaux >[!remarque] >Définitions des différents ensembles et espaces vectoriels - Soit $\mathbb{K}^{P}$ un espace vectoriel avec les opérateurs $+$ et $\cdot$ . - Soit $K[X]$ un espace vectoriel avec des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ - $\mathcal{F}(I,\mathbb{K})$: un ensemble des fonctions définies sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$, muni des deux lois $+$ et $\cdot$ habituelles. Un vecteur est ici une fonction $x \in I \mapsto f(x) \in \mathbb{K}$. Le vecteur nul est la fonction nulle $x \in I \mapsto 0$. - $\mathcal{F}(\mathbb{N},\mathbb{K})$ serrait une suite. ----- >[!proposition] > Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. On a les propriétés suivantes: > $\forall \mathbf{x} \in E 0_{\mathbb{K}} \cdot \mathbf{x} = 0_{E}$ #### Combinaison linéaire: >[!definition] >Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $\mathbf{v_{1}}, \mathbf{v_{2}},\mathbf{v_{3}}, \dots,\mathbf{v_{p}}$ des vecteurs de $E$. >On dit qu'un vecteur $\mathbf{x}$ appartenant à $E$ est __combinaison linéaire__ des vecteurs $\mathbf{v_{1}}, \mathbf{v_{2}}, \mathbf{v_{3}}, \dots, \mathbf{v_{p}}$ lorsque $\mathbf{u}$ peut s'écrire: $\mathbf{u} = \alpha_{1} \mathbf{v_{1}} + \alpha_{2} \mathbf{v_{2}} + \dots + \alpha_{p} \mathbf{v_{p}}$ # Structure de sous-espace vectoriel ## Suite de Fibonacci Notons $F$ l'ensemble des suites réelles $(u_{n})_{n \in \mathbb{N}}$. où: $ \forall n \in \mathbb{N} u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n} $ On connais: - La suite de Fibonacci - La suite de Lucas 1. On remarques également la suite nulle (0,0,0,0...) 2. Soit deux suites $u_{n}$ et $v_{n}$ qui sont toutes les deux dans l'ensemble $F$ et $\alpha$ et $\beta$ sont dans $\mathbb{R}$, alors la suite $(w_{n})_{n \in \mathbb{N}} = \alpha (u_{n})_{n\in \mathbb{N}} + \beta (v_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ appartient aussi à l'ensemble $F$, en effet (la justification est laissée comme exercice pour le lecteur (ou cf poli flemme)) ### Solution d'une Equation Différentielle Homogène Notons $\mathcal{S}_{0}$ l'ensemble de solutions sur $\mathbb{R}$ de l'EDL homogène. $\begin{equation*}[E_{0}]\space \forall t \in \mathbb{R} = a y''(t) + by'(t) + cy(t) = 0 \end{equation*} $ On aura: $(a,b,c) \in \mathbb{R}^{*} \mathbb{R}^{2}$ 1. L'application nulle $t \in \mathbb{R} \mapsto 0$ existe et est solution sur $\mathbb{R}$ de $(E_{0})$. 2. Si $y_{1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, de même que y2 sont deux soltuion sur $\mathbb{R}$ de $(E_{0})$. et $\alpha$ et $\beta$ >[!remarque] > D'après ce que j'ai compris, on aura $S_{0}$ une contrainte à $a,b,c$ qui représenteront un espace vectoriel. ## Finalement, qu'est ce qu'un sous espace vectoriels >[!definition] >Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, et $F$ un sous ensemble de $E$. >On dit que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ lorsqu'il satisfait les trois conditions suivantes: >1. $F \neq \emptyset$ >2. $\forall \mathbf{x},\mathbf{x}' \in F \space \mathbf{x} + \mathbf{x'} \in F$ stabilité par l'addition >3. $\forall x \in F \forall \alpha \in \mathbb{K}$ stabilité par la multiplication ---- >[!remarque] >On peut remplacer les conditions de 2 et 3 par: >$\forall (\mathbf{x}, \mathbf{x'}) \in F^{2} \, \forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{K}^{2} \, \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x'} \in F$ On a également les sous espaces triviaux pour un espace $E$: $0_{E}$ et $E$ ----- >[!Proposition] > Si: > - $E$ est un $\mathbb{K}$ un espace vectoriel > - $F$ un sous ensemble de $E$. > - $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ > -> __alors__ $F$ est lui même un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. ---- >[!exemple] >Si on considère $n \in \mathbb{N}$ considérons l'ensemble $\mathbb{K}_{n}[X]$ constitué de tous les polynômes de degré inférieur ou égal à $n$: $\mathbb{K}_{n}[X] = \{a_{0}+ a_{1}X+\dots a_{n}X^{n} | a_{0},a_{1},\dots,a_{n} \in \mathbb{K}\}$ > Clairement $\mathbb{K}_{n}[X] \inc \mathbb{K}[X]$. > 1. On a un polynôme nul, donc il n'est pas vide > 2. L'addition conserve le polynome > 3. La multiplication avec $\alpha \in \mathbb{K}$ fonctionne. ---- >[!remarque] >Si $F$ est un sous ensemble vide de $E$, alors $0_{E} \in F$. >$F \text{est sous espace vectoriel de E} \implies 0_{E} \in F$ >Or c'est logiquement équivalent à la contraposée: >$0_{E} {\notin} F \implies \text{F n'est pas un sous espace vectoriel de E}$ En particulier, le complémentaire de $F$ dans $E$ n'est pas un sous espace de $E$. >[!exemple] >Soit $F =^{def} \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} | x + 2y - z = 0\}$ >1. $(0,0,0)$ appartient à F, donc, $F \neq \emptyset$ >2. Soient $(x,y,z)$ et $(x',y',z')$ dans $F$ et $\alpha$ et $\beta$ deux réels. Montrons que: $= \alpha(x,y,z) + \beta(x',y',z') \in F$ On aura: $= (\alpha x + \beta x',\alpha y + \beta y',\alpha z + \beta z')$. >Donc, c'est un sous espace vectoriel de $F$. ## Intersection de sous espaces vectoriels >[!definition] >Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$. Si $F$ et $G$ désignent deux sous-espaces vectoriels de $E$ alors leur intersection $F \cap G$ est aussi un sous-espace vectoriel de $E$. L'intersection de deux sous-espaces $F$ et $G$ d'un même espace $E$ n'est jamais vide. >[!exemple] >Soient $F = {0} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ et $G = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times {0}$. Deux sous-espaces de $\mathbb{R}^{3}$. Quelle est leur intersection ? >$\begin{align*} F &=^{def} \{(0,y,z) \in \mathbb{R}^{3} \, | \, y \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{R}\}\\ G &=^{def} \{(x,y,0) \in \mathbb{R}^{3} \, | \, y \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}\}\\ F \cap G &= \{(0,y,0) \in \mathbb{R}^{3} \, | y \in \mathbb{R}\}\\ \end{align*}$ >[!warning] >L'intersection fonctionne, mais l'union ne fonctionne pas toujous. Elle n'est pas forcément un sous espace vectoriel. >$F = \mathbb{R} \times {0} \,| \, G = {0} \times \mathbb{R}$. >On aura donc: $F \cup G$. >Mais, on a $\mathbb{R}^{2}$ résultant de l'addition. Qui n'est plus dans l'union. ## Sous espace engendré par une famille Soient $\mathbf{v_{1}}, \dots, \mathbf{v_{m}}$ des vecteurs appartenant à $\mathbb{K}$-espace de $E$, et $\mathbf{x}, \mathbf{x}'$ deux vecteurs de $E$. Supposons que ces vecteur $\mathbf{x}$ et $\mathbf{x'}$ soient combinaisons linéaire de $\mathbf{v_{1}}\dots, \mathbf{v_{m}}$ càd: $ \begin{align*} \exists \alpha_{1} \dots, \alpha_{m} \in \mathbb{K} \, \mathbf{x}=\alpha_{1}\mathbf{v_{1}}+\dots+\alpha_{m}\mathbf{v}_{m}\\ \exists \beta_{1} \dots, \beta_{m} \in \mathbb{K} \, \mathbf{x'}=\beta_{1}\mathbf{v_{1}}+\dots+\beta_{m}\mathbf{v}_{m} \end{align*} $ Soient, $\lambda, \lambda'$ dans $\mathbb{K}$. Que peut dire du vecteur, $\lambda \mathbf{x} + \lambda'\mathbf{x'}$. On aura: $ \lambda(\alpha_{1}\mathbf{v_{1}}+\dots+\alpha_{m}\mathbf{v}_{m}) + \lambda'(\beta_{1}\mathbf{v_{1}}+\dots+\beta_{m}\mathbf{v}_{m}) $ [CF POLI] >[!definition] >Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de $\mathcal{F}$ une famille de vecteurs appartenant à $E$. On appelle __sous espace engendré par $\mathcal{F}$__ et on note $Vect(\mathcal{F})$, l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de $\mathcal{F}$. Autrement dit, si: $\mathcal{F} = (\mathbf{v_{1}}, \dots, \mathbf{v_{m}})$, alors: >$Vect(\mathbf{v_{1}}, \dots, \mathbf{v_{m}}) = \{\alpha_{1} \mathbf{v_{1} + \dots \alpha_{m} \mathbf{v_{m}} \, | \, \alpha_{1}, \dots, \alpha_{m} \in \mathbb{K}}\} \inc E$. >La famille $\mathcal{F}$ est alors __génératrice__ du sous espace $Vect(\mathcal{F})$ Ainsi, >[!exemple] >$\vec{v_{1}} \in E$ et $\vec{v_{2}} \in E$. Alors: on aura $Vect(\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}) = \alpha \vec{v_{1}} + \beta \vec{v_{2}}$ >[!warning] >Une famille: $\mathcal{F}$ est une liste (ou disposition ordonnée) de vecteurs non nécessairement distincts. >Il ne faut donc pas confondre une __famille__ et un __ensemble__. >- Pour une famille, l'ordre des éléments est pris en compte alors qu'il n'a aucune importance pour u ensemble. Parr exemple, si $\mathbf{v_{1}}, \mathbf{v_{2}},\mathbf{v_{3}}$ sont des vecteurs distincts deux à deux, alors: >$\begin{align*} (\mathbf{v_{1}}, \mathbf{v_{2}},\mathbf{v_{3}}) &\neq (\mathbf{v_{2}}, \mathbf{v_{1}},\mathbf{v_{3}})\\ \{\mathbf{v_{1}}, \mathbf{v_{2}},\mathbf{v_{3}}\} &= \{\mathbf{v_{2}}, \mathbf{v_{1}},\mathbf{v_{3}}\} \end{align*}$ >[!warning] >En gros changer les vecteurs d'une famille, ça reste le même sous espace, mais ça change la famille. >[!remarque] >L'utilité de ces familles est la transformation d'un ensemble infini d'élément en une base. Par exemple, on prend l'ensemble des point dans $\mathbb{R}^3$ que l'on réduit à 3 vecteurs d'une base. >[!definition] >Soient $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ et $\mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{m},\mathbf{v}_{m+1}$ des vecteurs de $E$. Si le vecteur $\mathbf{v}_{m+1}$ est combinaison linéaire des vecteur $\mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{m}$ alors: >$Vect(\mathbf{v}_{1},\dots,\mathbf{v}_{m},\mathbf{v}_{m+1}) = Vect(\mathbf{v}_{1},\dots,\mathbf{v}_{m})$ >[!exemple] >On prend une famille avec: >$\begin{align*} \mathbf{v}_{1}\begin{pmatrix}1\\1\\0\\-1\end{pmatrix}&&\mathbf{v}_{2}\begin{pmatrix}1\\2\\1\\0\end{pmatrix}&&\mathbf{v}_{3}\begin{pmatrix}3\\5\\2\\-1\end{pmatrix} \end{align*}$ > Or, $\mathbf{v}_{3}=\mathbf{v}_{1}+2\mathbf{v}_{2}$ Donc, $Vect(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3})= Vect(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2})$ Donc, on ne modifie pas l'espace engendré par une famille lorsqu'on multiplie un des vecteurs par un scalaire non nul; On ne modifie pas l'espace engendré par une famille lorsqu'on addition à un des vecteurs une combinaison linéaire... ---- >[!exemple] >Soit: $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}|x+2y-z\}$ avec: $x=-2y+z$ donc, $(x,y,z)=(-2y+z,y,z)=y(-2,1,0)+z(1,0,1)$ # Indépendance linéaire et base algébrique ## Famille lié >[!definition] >Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $\mathcal{F}=(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\dots,\mathbf{v}_{p})$ une famille de vecteurs de $E$. On dit que $\mathcal{F}$ est __liée__ lorsqu'on peut trouver des scalaire, $\alpha_{1},\alpha_{2},\dots \alpha_{p}$ dans $\mathbb{K}$ dont au moins un est non nul tels que: >$\alpha_{1}\mathbf{v}_{1} + \alpha_{2}\mathbf{v}_{2}\dots+\alpha_{p}\mathbf{v}_{p}=0_{E}$ On dit alors que, $\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\dots,\mathbf{v}_{p}$ sont __linéairement dépendant__,. - Lorsque deux vecteurs d'un même espace vectoriel sont liés, on dit qu'ils sont colinéaires - Lorsque trois vecteurs d'un même espace vectoriel sont liés, on dit qu'il sont coplanaires. Autrement dit une famille est dite liée lorsqu'il existe une combinaison linéaire de ses vecteurs qui est égale au vecteur nul, avec au moins un des coefficients qui est non nul. >[!proposition] >Une famille est liée, __si et seulement si__ un de ses vecteurs peut s'écrire comme une combinaison linéaire des autres. --- Justification à la roumegoux: ça saute aux yeux. c'est logique. faut travailler plus chez vous pour comprendre L'INTUITION (c'est evident) ----- ## Famille libre >[!definition] >Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $\mathcal{F}=\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\dots\mathbf{v}_{p}$ >une familel de vecteurs appartenant $E$. On dit que $\mathcal{F}$ est __libre__ lorsqu'elle n'est pas liée. On dit alors que $\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\dots,\mathbf{v}_{p}$ sont linéairement indépendants. >Autrement dit, une famille est libre lorsque la seule possibilité d'avoire unecombinaison linéaire nulle de ses vecteurs est que tous ses coefficients soient nuls. __Comment montrer qu'une famille est libre__ ? $ \begin{align*} \alpha_{1}\mathbf{v}_{1} +\alpha_{2}\mathbf{v}_{2}\dots+\alpha_{p}\mathbf{v}_{p}&= 0_{E}\\ \implies \forall i \,\,\, \alpha_{i} &= 0 \end{align*} $ ---- >[!remarque] >Pour une famille l'ordre des vecteurs qui la composent a son importance. Changer l'ordre, c'est changer de famille. En revanche, pour une famille, la propriété d'être liée ou libre ne change pas si l'on réordonne ses vecteurs. Par exemple, si $\mathcal{F}=(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3})$ est liée alors, $\mathcal{F'}=(\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{1})$ est aussi liée. >__Remarque__: >- La famille constituée d'un seul vecteur est liée, __ssi__ ce vecteur est nul. >- Toute famille contenant le vecteur nul est liée >- Toute famille comportant deux vecteurs égaux est liée. >[!proposition] >toute famille libre privée d'un vecteur est toujours libre. ---- >[!proposition] >Soient $E$ un $\mathbb{K}-espace$ vectoriel et $\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\dots,\mathbf{u}_{m}$ des vecteurs de $E$. Toute famille d'au moinsse $m+1$ vecteurs appartenant à $Vect(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\dots,\mathbf{u}_{m})$ est nécéssairement lié. Reformulation: si on a une base, on a obligatoirement une famille liée si on rajoute un nouveau vecteur. >[!corollaire] >Si un espace $E$ est engendré par $m$ vecteurs, alors toute famille constituée d'au moinsse $m+1$ vecteurs appartenant à $E$ est liée >[!exemple] >Considérons par exemple le $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E = \mathbb{K}^3$. Les 3 vecteurs: $\mathbf{e}_{1}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\mathbf{e}_{2}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\mathbf{e}_{3}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ engendrent $\mathbb{K}^{3}$ puisque, pour tout $x$ on aura une combinaison linéaire des 3. >[CF POLI] ## Base algébrique C'est basique >[!definition] > Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $\mathcal{B}$ une famille de vecteurs de $E$. On dit que $\mathcal{B}$ est une __base algébrique__ de $E$ lorsque $\mathcal{B}$ est à la fois une famille libre __et__ une famille génératrice de $\dfrac{E}{\text{10 traits}}$. ### Les bases incontournables: #### Base vectorielle classique - Soit $p \in \mathbb{N}^*$ considérons les vecteurs de $\mathbb{K}^{p}$: (libre) $ \begin{cases} \mathbf{e}_{1}= \begin{pmatrix}1&0&0&\dots&0\end{pmatrix}\\ \mathbf{e}_{2}= \begin{pmatrix}0&1&0&\dots&0\end{pmatrix} \\ \dots \\ \mathbf{e}_{p}= \begin{pmatrix}0&0&0&\dots&1\end{pmatrix} \end{cases} \implies \alpha_{1}=\alpha_{2}=\dots=0 $ Donc, $\mathcal{B}$ est génératrice de $E = \mathbb{K}^p$ car $\forall \vec{u} \in \mathbb{K}^{p} \,\,\exists \alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{p} \in \mathbb{K} : \vec{u}=\mathbf{e_{1}}\alpha_{1}+\mathbf{e_{2}}\alpha_{2}+\dots$ Alors $\mathcal{B}_{c}=(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}\dots,\mathbf{e}_{p})$ est une base de $\mathbb{K}^{p}$. Elle contient $p$ vecteurs. C'est la base canonique de $\mathbb{K}^{p}$ >[!remarque] >Donc en gros, une base __canonique__ est la base la plus zolie au quel on peut penser, justification: aucune, quand on vois le système on se dit qu'il est canon ---- >[!proposition] >Soit $\mathcal{B}=(\mathbf{u_{1}},\mathbf{u_{2}}, \dots, \mathbf{u_{p}})$, une famille de vecteurs d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$. La famille $\mathcal{B}$ est une base de $E$ __si et seulement si__ pour tout $\mathbf{x} \in E$, il existe un unique p-uplet $(\alpha_{1},\alpha_{2},\dots\alpha_{p}) \in \mathbb{K^{p}}$ tel que: >$\mathbf{x}=\alpha_{1}\mathbf{u}_{1}+\alpha_{2}\mathbf{u}_{2}\dots$ >Les $p$ scalaires $\alpha_{1},\alpha_{2}, \alpha_{p}$ sont alors appelés les __coordonées__ ou __composantes__ du vecteur $\mathbf{x}$ par rapport à la base $\mathcal{B}$ on écrit: > [CF POLI] (juste écriture en colonne) On écrit: $ \begin{align*} \vec{x} &= \begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\\ [\vec{x}]_{\mathcal{B}} &= \begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}\\ [\vec{x}]_{\mathcal{F}} &= \begin{pmatrix}\delta \\ \gamma \\ \zeta \end{pmatrix} \end{align*} $ >[!remarque] >Ce n'est pas des coordonnées mais des composantes ---- >[!problem] >__Une famille libre est-elle une base ? Si oui, de quoi ?__ ><< Bah oui couillon >> - Sturm >La réponse est forcément oui. On suppose que $\mathcal{F}$ est libre. Or, une famille $\mathcal{F}$ est toujours génératrice du sous-espace qu'elle engendre, à savoir $Vect(\mathcal{F})$. La famille $\mathcal{F}$ est donc à la fois libre et génératrice de $Vect(\mathcal{F})$. C'est donc une base de $Vect(\mathcal{F})$. Par exemple, deux vecteurs non colinéaires de $\mathbb{R}^3$ forment une base du plan engendré par ces deux vecteurs. Or, si on reformules la question, >[!problem] >__Une famille libre est-elle une base de $E$ ? Si oui, de quoi ?__ > A priori, non, il faut que la famille libre engendre un espace et donc, $Vect(\mathcal{F})=E$ n'est pas toujours vrai. # Espace de dimension finie >[!definition] >Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ >- On dit que $E$ est de __dimension finie__ lorsqu'il existe une famille __finie__ de vecteurs générateurs de $E$. >- Dans le cas contraire, $E$ est dit de __dimension infinie__. >[!exemple] >- Tout espace possédant une base __finie__ est necéssairement de dimension finie. C'est par exemple le cas de $\mathbb{K}^{p}$ pour tout $p \in \mathbb{N}^*$. Et de $\mathbb{K}_{n}[X]$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. >- L'espace $\mathbb{K}[X]$ est de dimension infinie. >- Soit $E$ un KESPV... alors le sous espace $Vect(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}, \dots\mathbf{v}_{p})$ par construction de dimension finie. __LA DIMENSION D'UN ESPACE EST LE CARDINAL D'UN ESPACE__ __Extraction d'une sous famille libre et génératrice__. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $E \neq \{0_{E}\}$. Il existe donc une famille $\mathcal{F}$ génératrice de $E$ qui a un nombre fini d'éléments . La famille $\mathcal{F}$ est elle necéssairement libre ? __non__. - Si $F$ est libre, alors c'est une base. - Si $F$ est lié, on peut extraire des vecteurs de $F$ qui elle est libre. >[!definition] >La dimension d'un espace, c'est le cardinal d'une base de cet espace -> une __base__ permet de créer tout les vecteurs d'un espace. ---- >[!proposition] >Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$. >Si la famille $\mathcal{F}$ est génératrice de $E$. Alors $card(\mathcal{F})\geq n$ Par contraposée: $card(\mathcal{F})<n \implies \mathcal{F}\text{ n'est pas génératrice de } E$ > - si $card(\mathcal{F}) = n$ et $\mathcal{F}$ est génératrice de $E$. Alors $\mathcal{F}$ est une base de $E$. On n'a plus besoins de montrer qu'elle est libre ou lié. > - si $card(\mathcal{F})\leq n$ alors forcément $\mathcal{F}$ est libre. Par contraposée $card(\mathcal{F}) > n$ alors $\mathcal{F}$ est liée. > - Si $\mathcal{F}$ est libre, et $card(\mathcal{F}) = n$ alors $\mathcal{F}$ est une base de $E$. -------- >[!proposition] >tout sous espace vectoriel $F$ d'un $\mathbb{K}$-espace fectoriel $E$. Et de dimension finie est lui même de dimenson finie et on a: >$dim(F) \leq dim(E)$ Le seul sous espace $F$ de $E$ qui est de dimension égale à $n$ est le sous espace $E$ lui même. ---- >[!exemple] >Soit l'ensemble $F$ de $E = \mathbb{R}^{3}$ défini par: >$F = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}| x + 2y - z = 0}$ >Soit $\vec{u} \in F$, càd $\vec{u} = (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}$ >On aura donc: $x+2y-z=0 \leftrightarrow x = -2y+z$. >$(x,y,z)=(-2y+z;y;z)$ donc: $y\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$. >Sachant qu'il ne sont pas colinéaire, on a donc, la base $\mathcal{B}_{F}$ de $F$: >$\mathcal{B}_{F}=(\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix};\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix})$ ----- # Rang d'une famille de vecteur Soit un espace vectoriel $E$, et $\mathcal{F}$ une famille de vecteur de $E$. Avec: $F = Vect(\mathcal{F}) \in^{sev} E$ >[!definition] Le rang >Le rang d'une famille, c'est la dimension de l'espace engendré par cette famille. >Soit $\mathcal{F}$ une famille __finie__ de vecteurs d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$. On appelle __rang__ de $\mathcal{F}$ et on note $rg(\mathcal{F})$ la dimension du sous-espace (de $E$) engendré par la famille $\mathcal{F}$. >CÀD: >$rg(\mathcal{F}) = dim[Vect(\mathcal{F})]$ __Détails__: Si: $\begin{align*} \mathcal{F} &= (\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\dots,\mathbf{v}_{p}) \\ \\ rg(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\dots,\mathbf{v}_{p}) &= dim[Vect( \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\dots,\mathbf{v}_{p})]\\ \end{align*} $ On sait que les vecteurs ne créaient pas forcément une famille libre. Donc: $ rg(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\dots,\mathbf{v}_{p}) \leq p $ En effet, si on a des vecteurs colinéaires ils seront éliminés. De plus, $ dim[Vect( \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\dots,\mathbf{v}_{p})] \leq dim(E) $ >[!remarque ] En résumé, si on est dans $\mathbb{R}^{4}$, il est impossible d'avoir un SEV avec un rang de $5$. Car on ne peut avoir 5 vecteurs de dimension 4 libres (l'un serra somme des autres) $ rg(\mathcal{F})=card(base(vect(\mathcal{F}))) $ Le rang, est le cardinal, de la base, extraite de la famille. >[!remarque] >En gros, on retrouve une base à partir des vecteurs, et on compte le nombre de vecteurs de cette base. ---- >[!definition] Famille échelonnée >Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $\mathcal{B}$ une base de $E$. Une famille $\mathcal{F}=(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\dots,\mathbf{v}_{p})$, est dite __échelonnée__ relativement à $\mathcal{B}$ lorsque pour tout $i \in [[2,p]]$ l'écriture des $v_{i}$ dans $\mathcal{B}$ commence (ou se termine) par un nombre de zéros strictement plus grand que l'écriture de $v_{i-1}$. >[!exemple] >$ \begin{align*} v_{1} &= \begin{pmatrix}1&2&4\end{pmatrix}\\ v_{2} &= \begin{pmatrix}0&1&17\end{pmatrix}\\ v_{3} &= \begin{pmatrix}0&0&12\end{pmatrix}\\ \end{align*}$ Le sous espace vectoriel serra libre, et ici c'est une famille échelonnée. ---- >[!proposition] >Soit $\mathcal{F}$ une famille __finie__ constituée de vecteurs d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ (de dimension finie ou infinie). >$\mathcal{F} \text{libre} \implies rg(\mathcal{F})=card(\mathcal{F})$ >En particulier, si $E$ est de dimension finie alors on a: >$\mathcal{F} \text{ génératrice de } E \leftrightharpoons rg(\mathcal{F})=dim(E)$ > #### Méthode des 0 échelonnés __Objectif__: calculer le rang d'une famille $\mathcal{F} = (\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\dots,\mathbf{v}_{p})$ d'un espace $E$ et de dimension $n$ En cherchant une base échelonné de $Vect(\mathcal{F})$. __Étape préliminaire__: on décompose les $p$ vecteurs $\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\dots,\mathbf{v}_{p}$ dans une base quelconque $\mathcal{B}=(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\dots,\mathbf{u}_{p})$ de $E$ alors: $ \begin{align*} \begin{cases} \mathbf{v}_{1} &= a_{(1,1)} \mathbf{u}_{1} + a_{(1,2)} \mathbf{u}_{2} + \dots a_{(1,n)} \mathbf{u}_{n} \\ \mathbf{v}_{2} &= a_{(2,1)} \mathbf{u}_{1} + a_{(2,2)} \mathbf{u}_{2} + \dots a_{(2,n)} \mathbf{u}_{n} \\ \dots. \\ \mathbf{v}_{1} &= a_{(p,1)} \mathbf{u}_{1} + a_{(p,2)} \mathbf{u}_{2} + \dots a_{(p,n)} \mathbf{u}_{n} \end{cases} \end{align*} $ $ \begin{align*} \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}&\dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2}&\dots& a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots& \dots \\ a_{p,1} & a_{p,2}&\dots& a_{p,n} \\ \end{pmatrix} \end{align*} $ --- __Opération autorisées__: - Échange de lignes - Multiplication de ligne par un scalaire - Addition d'une ligne à une autre - Échange de colonnes. __Justification__: Un sous espace engendré par une famille de est inchangé - lorsqu'on échange l'ordre des vecteurs - lorsqu'on multiplie un vecteur par un scalaire non nul. - Lorsqu'on ajoute à un des vecteurs une combinaison linéaire des autres vecteurs. Ces opérations permettent toujours de trouver une famille échelonnée (et donc libre) qui engendre encore $F = vect(\mathcal{F})$. Les vecteurs non nuls de cette famille échelonnée forment alors une base $\mathcal{B}_{f}$ >[!remarque] >C'est la même règle que l'inversion de matrice. ----- [CF POLI] >[!remarque] Donc, après toutes les opérations, le rang d'une famille est le nombre de lignes sans coefficients nuls.