#semestre1 #math #td
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David Roumegoux
Si on a:
$
tan(a+b) &= (sin(a+b))/(cos(a+b)) \
&= (sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b))/(cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b))\
&= ((sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b))(cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)))/((cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b))(cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)))\
&= ((sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b))(cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)))/((cos(a)cos(b))^2-(sin(a)sin(b))^2)\
&= ((sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b))(cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)))/((cos(a)cos(b))^2-(sin(a)sin(b))^2)\
&= ((sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b))(cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)))/((cos(a)cos(b))^2-(sin(a)sin(b))^2)\
$
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$
tan(a+b) = sin(a+b)/(cos(a+b))
$
> [Exercice], avec les formules de $sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)$ et $cos(a+b)$ retrouver $tan(a+b)::$
$
&= (tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))\
&= (sin(a)/cos(a)+sin(b)/cos(b))/(1-sin(a)/cos(a)sin(b)/cos(b))\
&= (sin(a)/cos(a)+sin(b)/cos(b))/(1-(sin(a)sin(b))/(cos(a)cos(b)))\
&= [sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)]/[cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)]
$
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#### Exercice 2
$cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)$
donc:
$
cos(a-b) &= cos(a)cos(-b) - sin(a)sin(-b)\
&= cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) \
$
$
sin(a-b) &= sin(a)cos(-b) + cos(a)sin(-b) \
&= sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
$
donc:
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#### Exercice 3
$
cos(2a) &= cos(a+a) = cos(a)cos(a) - sin(a)sin(a) = cos^2(a) - sin^2(a)\
sin(2a) &= sin(a+a) = 2sin(a)cos(a)
$
$tan(2a) = tan(a+a) = (2tan(a))/(1- tan^2(a))$
Ainsi:
$
cos^2(a) &= cos(2a)+sin^2(a)\
cos^2(a) &= cos(a)^2 - sin^2(a)+sin^2(a)\
cos^2(a) &= 1 - sin^2(a)
$
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devoirs pour: jeudi 21
## Exercice 2 q 2
Sachant que pour $sin(x) = cos(x + pi/2)$ alors:
$
&&k in ZZ \
<=>&&sin((2x)/3)&=cos(x)\
<=>&&sin((2x)/3)&=sin(x+pi/2)\
<=>&&(2x)/3+2k pi &= x + pi/2 + 2k' pi \
<=>&&-1/3 x + 2k pi &= pi/2 + 2k' pi \
<=>&&-1/3 x &= pi / 2 + 2k pi \
<=>&&x &= (-3pi)/2 + 6k pi
$
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##### Correction
$
sin(2x/3) &= cos x \
<=> & cos(2x/3 - pi /2) &= cos x \
<=> & cases(2x / 3 - pi / 2 = x + 2 k pi , 2 x / 3 - pi / 2 = -x + 2 k pi )
$
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##### partie 3 (correction )
$
cos(2x) + cos(x) = 0
$
__idée 1__: $cos(2x) = -cos(x) = cos(pi - x)$
__idée 2:__ $cos(2x) (+cos(x)) = 2cos^2 x + cos x - 1$
__idée 3__: $cos(2x) + cos(x) = 2 cos(3x / 2) cos(x/2)$ ...
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__idée 1__:
$
cos(2x) =& cos(pi - x) \
<=>& cases(2x = pi - x + 2k pi, 2x = -pi + x + 2k pi )\
<=>& cases(x = pi/3 + 2/3k pi, x = -pi + 2k pi )\
$
__idée 2__:
$
<=> cos(2x) + cos(x) = 0 \
<=> [...] <=> 2X^2 + X - 1 = 0 \
<=> X = -1 "ou" X = 1/2 ("avec X = cos(x)!" )
$
>[!warning]
>Il faut que ce soit entre $[-1;1]$ car sinon kaputt
$
<=>& (X = 1) &x= pi + 2k pi "ou" \
<=>& (X = 1/2) &x = pi /3 + 2 k pi "ou" x = -pi/3 + 2 k pi
$
Pourtant on a pas les mêmes résultats au début, mais ils sont égaux.
![[1 td 0 2023-09-22 08.20.04.excalidraw.svg]]
>[!remarques]
>Savoir convertir les $cos$ en $sin$ ($cos^2$ et $sin^2$)
>Les formules par coeur. (jusqu'à la page 7)
### Exercice 3 (cf papier )
### Exercice 4
>[!exercice]
>Donner une expression des sommes suivantes sans utiliser le symbole $sum$
##### 1
$
&= sum^30_(k=0) (-1)^k\
&= (-1)^0 + (-1)^1 + (-1)^2 ... +(-1)^(30)\
&bar "or, on a un nombre pair" \
&bar "de nombres impairs:"\
&= 1
$Donc c'est $1$
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#### Suite géométrique
$
cases(u_(n+1), u_0) = u_n = u_0 * q^n
$
$
sum^n _(k=0) = (1- q^(n+1))/(1-q)
$
##### 2
$
&= sum^(n+2)_(k=0) 5 \
&= 5+5+5+5... " " (n+2+1 "fois")\
&= 5 * (n+3)
$
##### 3
$
&= sum^(n)_(k=10) 2k-4\
&= sum^(n)_(k=10) 2(k-2)\
&= 2(sum^(n)_(k=10) k-2)\
&= 2(sum^(n)_(k=10) k - sum^(n)_(k=10) 2)\
&= 2[(sum^(n)_(k=10) k)- (n-10+1)*2]\
&= 2[(n(n+1))/2-(9*9+1)/2-(n-10+1)*2]\
&= (n(n+1))-90-(n-10+1)*4\
&= (n(n+1))-54-4n\
&= n^2 - 3n - 54
$
$
["last"+"first"]/2 * (n-9)
$
##### 4
$
&=sum^n_(k=0)3/2^k \
&= 3 sum^n_(k=0) 2^(-k) \
&= 3[(2^((n+1))-1)/((2-1)2^n)]\
&= 3[(2^((n+1))-1)/(2^n)]\
&= 3[2^(n+1)/(2^n)-2^(-n)]\
&= 6-3*2^(-n)\
$
##### 5
$
&= sum^n_(p=1) p/n \
&= n^(-1) sum^n_(p=1) p \
&= n^(-1)[(n(n+1))/2 ] \
&= (n(n+1))/(2n) \
$
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>[!exercice]
>Soient $(n ,p) in (N^*)^2$ Vérifier que: $sum^(p-1)_(k=0)(1/n+k)- sum^p_(k=1)(1/n+k)=1/n - 1/(n+p)$
Donc:
$
&= sum^(p-1)_(k=0)(1/(n+k))- sum^p_(k=1)(1/(n+k))\
&= sum^(p-1)_(k=0)(1/(n+k))- sum^(p-1)_(k=0)(1/(n+(k+1)))\
&= sum^(p-1)_(k=0)(1/(n+k)- 1/(n+(k+1)))\
&= sum^(p-1)_(k=0)(1/(n+k)- 1/(n+(k+1)))\
&= sum^(p-1)_(k=0)(1/(n+k)- 1/((n+k)+1))\
&= sum^(p-1)_(k=0)()\
$
Soit, $u_k = 1/(n+k)$
Chaque termes vont alors s'annuler, sauf le premier et le dernier ce qui donnera:
$
&= u_0 - u_p\
&= 1/n - 1/(n+p)
$
##### 3
Soient
$
&= product^n _(k=1) q^k \
&= q^(sum^n_(k=1)k) \
&= q^((n(n+1))/2)
$
#### Exercice 5
##### 1
$
sum^n_(k=2)1/(k(k-1))=1-1/n \
$
On cherche
$
1/(k(k-1))&= a/k + b /(k-1)\
1&= a(k-1) + b(k) \
1 &= a k - a + b k \
1 &= k(a + b) - a \
"Prenons a = -1" : \
1 &= k(-1+b)+1\
0 &= k(-1+b) \
b &= 1
$
$
a = -1 \
b = 1
$
$
sum^n_(k=2)(-1/k + (1)/(k-1))\
sum^n_(k=2)( (1)/(k-1) - 1/k)\
"Formule téléscopique":\
1 - 1/n
$
##### 2
$
&sum^n_(k=1) ln(1+1/k) \
&sum^n_(k=1) ln((1+k)/k) \
&sum^n_(k=1) ln(1+k) -ln(k) \
\ &"Formule téléscopique": \
&ln(n+1) - ln(1) \
&ln(n+1)
$
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$
product^n_(k=1) k = n!
$
## Exercice 6
$
& ((100+1)!)/((99
)!)\
& (101 * 100* (99!))/(99!)\
& 10100
$
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> Devoirs: exercice 6 (1 et 2) et $product^n_k=1(2^n n!)$
$
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