# Intégrale simple On s'intéresse à la fonction $f: [a,b] \inc \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. C'est la fonction qui à $x \in [a,b]$ associe le réel $f(x)$. L'objectif est de donner un sens à l'__intégrale (simple)__: $ \int_{a}^{b} f(x)\, dx $ Alors, voici la construction d'une intégrale simple: Soit $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue $\mathcal{I} = [a,b] \inc \mathbb{R}$. - __Étape 1__: on subdivise $[a,b]$ en pleins de petites sections $[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots$ - __Étape 2:__ Dans chaque $[x_{i-1},x_{i}]$ on choisit un point $\alpha_{i}$. - __Étape 3:__ Soit la somme de Riemann: $I_{n} = \sum_{i=1}^{N}f(\alpha_{i}) \delta x$. >[!definition] >$\int_{I} f(x) \, dx = \lim_{ N \to \infty } \sum^{N}_{i=1} f(\alpha_{i}) \delta x$ ### Propriétés >[!proposition] >1. __Positivité__: si $f$ est positive sur $\mathcal{I}$ alors: $\int _{\mathcal{I}} f(x) \, dx \geq 0$ >2. __Reunion de deux intervalles__: $\int_{\mathcal{I_{1}} \cup \mathcal{I_{2}}} f(x)\, dx = \int _{I_{1}} f(x)\, dx + \int _{\mathcal{I_{2}}} f(x)\, dx$ >[CF POLI] #todo # Intégrale double Soit $f : \mathcal{D} \inc \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$. C'est la fonction qui au couple $(x,y)= \in \mathcal{D} \inc \mathbb{R}^{2}$ associe le réel $f(x,y)$. l'objectif est de donner un sens à l'intégrale double: $ \int \int_{\mathcal{D}} f(x,y) \, dx \, dy $ >[!definition] >L'__intégrale double__ sur une partie fermée bornée $\mathcal{D} \inc \mathbb{R}^{2}$ d'une fonction continue $f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ est définie comme la limite de la double somme $I_{N_{x},N_{y}}$ lorsque $N_{x} \to +\infty$ et $N_{y} \to +\infty$ donc: >$ \int \int_{\mathcal{D}} f(x,y) \, dx \, dy = \lim_{ N_{x}N_{y} \to \infty } \sum^{N_{x}}_{i=1}\sum^{N_{y}}_{j=1} \mathbb{1}_{\mathcal{D}}(\alpha_{i},\beta_{j}) f(\alpha_{i}, \beta_{j})\delta x \delta y $ >[!remarque] >Une intégrale double représente le volume sous une surface $\mathcal{D}$ __première approche__: tu pleure, tu tombe en dépression __seconde approche__: #### Intégration double Soit l'intégrale: $\int \int \frac{x \times y}{2} \, dx \, dy$ __1__: Intégrons: >[!exemple] >$\int \int \frac{x \times y}{2} \, dx \, dy = \frac{1}{2} \int \int x \times y \, dx \, dy$ >On va alors intégrer en ayant $x$ comme constante: >$\begin{align*} &= \int \frac{x \times y}{2} \, dy\\\ &= \frac{x}{2}\int y \, dy\\\ &= \frac{x}{2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]^{a}_{b} \end{align*}$ >On va refaire en ayant $y$ comme constante: >$\begin{align*} \int \int \frac{x \times y}{2} \, dy \, dx \\ \int \int \frac{x}{2} y \, dy \, dx \\ \int \frac{x}{2}\int y \, dy \, dx \\ \int \frac{x}{2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]^{a}_{b} \, dx \\ \left[ \frac{y^2}{2} \right]^{a}_{b}\int \frac{x}{2} \, dx \\ \left[ \frac{y^{2}}{2} \right]^{a}_{b} \times\left[ \frac{x^2}{4} \right]^{a}_{b} \end{align*}$ >[!theoreme] >Si $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}\to f(x,y) \in \mathbb{R}$. Désigne une fonction conitnue sur un domaine rectangulaire fermé $\mathcal{D} =[a,b] \times [c,d] \inc \mathbb{R}^{2}$ alors $f$ est intégrable sur $\mathcal{D}$ et on a:$ \int^{a_{1}}_{b_{1}} \int^{a_{2}}_{b_{2}} \frac{x \times y}{2} \, dy \, dx \leftrightarrow \int^{a_{2}}_{b_{2}} \int^{a_{1}}_{b_{1}} \frac{x \times y}{2} \, dx \, dy $ De plus, si on a: $f(x,y) = h(x) \times g(y)$ sur un domaine $\mathcal{D}$ rectangulaire, on aura: $ \int \int_{[a,b] \times [c,d]} f(x,y) \, dx \, dy = \int _{[a,b]} h(x) \, dx \times \int_{[c,d]} g(y) \, dy $