# Bornes supérieure / inférieure ## D'un ensemble Soit $A \inc \mathbb{R}$ on dit que: >[!definition] >$A$ est __majorée__, s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall a \in A, a \leq M$ >[!definition] >$A$ est __minorée__, s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall a \in A, a \geq M$ >[!definition] >$A$ est bornée s'il est majoré et minoré >[!definition] >Si $M$ est un majorant et que $M \in A$ alors M est le maximum de $A$ noté $\max_{a\in A}(a)$ ou $\max(A)$ >[!definition] >Si $M$ est un minorant et que $M \in A$ alors M est le minimum de $A$ noté $\min_{a\in A}(a)$ ou $\min(A)$ >[!exemple] >$A=[0,1[$ il a un minimum, mais pas de maximum. ---- >[!theoreme] >Soit $A \inc \mathbb{R}$ non vide et majorée, alors il existe un plus petit majorant de $A$ on le note $\sup(A)$. >De même, $A$ non vide minorée, il existe un plus grand minorant, on le note $\inf(A)$. >[!exemple] >$A = ]-1,3] \cup [4,5]$. >- $\inf(A)=-1$ >- $\sup(A)=5=\max(A)$ >[!remarque] >Ce théorème se nomme l'axiome de la borne supérieure (attention, c'est des maths qui piquent) ## D'une fonction >[!definition] >Soit $f : D \to \mathbb{R}$, on dit que $f$ est majorée si $\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in D, f(x) \leq M$ >[!definition] >Soit $f : D \to \mathbb{R}$, on dit que $f$ est minorée si $\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in D, f(x) \geq M$ >[!remarque] >$\max$,$\min$, ... C'est les mêmes définition que pour un ensemble. >[!definition] >Si $f$ est majorée, il existe un plus petit majorant noté $\sup_{x \in D}(f(x))$ >Si $f$ n'est pas majorée, on dira que $\sup_{x \in D}(f(x)) = +\infty$ >[!exemple] >$\inf e^{x}=0$, $\sup e^{x}=+\infty$ # Continuité (sur un intervalle) ## Rappels >[!definition] >Soit $f : D \to \mathbb{R}$, on dit que $f$ est continue en $a$ si $\lim_{ x \to a }f(x)= f(a)$. Donc $f(x)$ s'approche de $f(a)$ quand $x$ s'approche de $a$ et $f$ est continue sur $D$ si elle est continue en tout point de $D$. > >[!remarque] >On parle __d'intervalle__, et un __intervalle__ n'a pas de trou. Par exemple $\mathbb{R}$ c'est ok, mais pas $\mathbb{R}^{*}$ >[!proposition] >Les fonctions usuelles que l'on connait sont toutes continues __sur leur ensembles de définition__. ($\exp,\ln,\sqrt{ x }$, polynôme, $\cos$, $\sin$, $\tan$, fractions rationnelles). >Et la somme, le produit, le quotient, la composition de fonctions continues est continue. ## Théorème des valeurs intermédiaire >[!theoreme] >Soit $f$ continue de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$, $\forall y \in [f(a),f(b)], \exists \, c \in [a,b], f(c)=y$ >![[2 cm 2 - continuité 2024-02-09 09.48.02.excalidraw.svg]] %%[[2 cm 2 - continuité 2024-02-09 09.48.02.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% >[!remarque] >Donc, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. >[!warning] >$f([a,b]) \neq [f(a),f(b)]$. >Exemple $f(x) = x^{2}$ >donc: $f([-1;1])=[0,1] \neq[f(-1), f(1)]$ [A RATTRAPER CAR J'ETAIS EN TRAIN DE MOURRIR DANS MON LIT, TEMA ça RIME]