# Chapitre 2 - Dérivation ## 1] Dérivée d'ordre supérieure Soit $I$ une intervalle de $\mathbb{R}$, $f : I \to \mathbb{R}$, on dit que $f$ est deux fois dérivable si $f$ est dérivable et $f'$ est dérivable. On note $f''$ la dérivée seconde càd: $f''=(f')'$ Et par récurrence, on note: $f^{(n)}$ >[!exemple] >$P(x)=-x^{3}+7x^{2}+8x + 1$ >On aura: >$\begin{align*} &&P^{(0)}&=1 \\ P^{(1)}&=-3x^{2}+2 \times 7 x + 8 & P'(0)&=8\\ P^{(2)}&=-6x+14 & P^{(2)}&=14\\ P^{(3)}&=-6 & P^{(3)}&=-6\\ P^{(4)}&=0 & \end{align*}$ >[!remarque] >La dérivée $n$-ième de $P$ notée $P^{(n)}$ évalué en $0$ donne la valeur $n!a_{n}$ où $a_{n}$ est le facteur $n$-ième. >[!theoreme] >Si une fonction a une dérivée $n$-ième égale à 0, cela implique que c'est un polynome. > >[!theoreme] >Soit $P(x)=\sum^{n}_{k=0} a_{k}x^{k}$, un polynôme, alors >$\begin{align*} \forall k \leq n, P^{(k)} &= k!a_{k}\\ \forall k \geq n, P^{(k)} &= 0 \end{align*}$ > Et donc, Taylor il a eu l'idée de faire l'inverse: > $ \begin{align*} P(x)&= \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(0)}{k!}x^{k} \end{align*} $ >[!demonstration] >Comme sur l'exemple >Soit: >$\begin{align*} P(x) &= a_{0} &+ a_{1}x &+ a_{2}x^{2} &+ \dots &+ a_{n}x^{n} & P(0) &= a_{0}\\ P'(x) &= 0 &+ a_{1} &+ a_{2}x &+ \dots &+a_{n}x^{n} & P'(0) &= a_{1}\\ P^{(2)}(x) &= 0 &+ 0 &+ a_{2}x &+ \dots &+a_{n}x^{n} & P^{(2)}(0) &= a_{2}\\ \end{align*}$ ---- >[!definition] >Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $f: i \to \mathbb{R}$. On dit que: >- $f$ est de classe $C^0$, si $f$ est continue sur $I$ >- $f$ est de classe $C^{1}$, si $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ est continue sur $I$ >- $f$ est trop classe $C^{n}$, si $f^{(n)}$ et toutes les dérivées inférieures sont continues sur $I$. >- $f$ est de classe $C^{\infty}$ si $f$ est de classe $C^{n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. >[!definition] > Les opérations usuelles conservent lee caractère $C^{k}$ >[!exemple] >Soit: $f: x \to \mid(x-5)^{3}|$ >On sait que $(x-5)^{3}$ est $C^\infty$ de $\mathbb{R}$ à valeur dans $\mathbb{R}$. >On sait aussi que: $|x|$ est $C^\infty$ de $\mathbb{R*}$ à valeur dans $\mathbb{R^{+}}$ >Donc, on sait que $|(x-5)^{3}|$ est continue lorsque $(x-5)^{3} \in \mathbb{R}^{*} \implies x\in \mathbb{R} / {5}$. > ## II Dérivation et bijection réciproque ### 1. Généralité >[!theoreme] >Soit $f : \mathcal{I} \to \mathcal{J}$, strictement monotone, soit $a \in \mathcal{I}$. Si $f$ est dérivable en $a$ alors: >$f^{-1}$ est dérivable en $b=f(a)$ ssi $f'(a)\neq 0$ >Ainsi : $(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$. >Or on peut simplifier cette merde, car on sait que: >$b=f(a)$ et $a=f^{-1}(b)$, donc: >$\begin{align*} f^{-1}(f(a))&= \frac{1}{f'(a)}\\ f^{-1}(b)&= \frac{1}{f'(f^{-1}(b))} \end{align*}$ ![[2 cm 2 2 2024-03-08 09.14.07.excalidraw.png]] %%[[2 cm 2 2 2024-03-08 09.14.07.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% >[!corollaire] >Si $f:\mathcal{I}\to \mathcal{J}$ strictement monotone avec: >$\forall x \in \mathcal{I}, f'(x) \neq 0$ >Alors $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathcal{J}$ >avec: $f'^{-1}(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ >>[!remarque] >>$f \circ f^{-1}(y)=y$ >>$\frac{d[f \circ f^{-1}(y)]}{dy}=1$ >Donc, on aura: >$\begin{align*} (u \circ v(x))' &= u'(v(x)) * v'(x)\\ f \circ f^{-1}(x) &= f'(f^{-1}(x)) * f'^{-1}(x) (=1)\\ f'(f^{-1}(x)) * f'^{-1}(x)&= 1\\ f'^{-1}(x) &= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \end{align*}$ >[!exemple] >Soit $f(x)=2-x^{3}-x^{2}$ sur $[0,+\infty[$ >$f'(x)=-3x^{2}-2x \leq 0$ sur $\mathbb{R}^{+}$.. >Théorème de la bijection: $f$ bijective de $[0,+\infty[$ dans $]-\infty;2]$ >$f^{-1}:]-\infty;2] \to[0;+\infty[$ est continue. ## 2. Fonction trigonométriques réciproques ### $\arctan$ >[!proposition] >$\arctan$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\arctan'=\frac{1}{1+x^{2}}$ >[!demonstration] >On applique le théorème précédent ! >$\tan : ]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}[\to \mathbb{R}$, strictement monotone, dérivable et $\tan'(x)=1+\tan^{2}(x)\geq0$ sur son ensemble. >Donc $\arctan$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et donc: >$\begin{align*} \arctan'(x) &= \frac{1}{\tan'(\arctan(x))}\\ &= \frac{1}{1+\tan^{2}(\arctan(x))}\\ &= \frac{1}{1+x^{2}} \end{align*}$ ### $\arcsin$ / $\arccos$ >[!proposition] >$\arcsin$ et $\arccos$ sont dérivables sur $]-1;1[$ et ne sont pas dérivables en $\pm 1$. >$\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{ 1-x^{2} }}$ >$\arccos'(x)=-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^{2} }}=-\arcsin'(x)$ >[!demonstration] >même idée que pour $\arctan$ en plus long. >$\rightarrow \arcsin'(x)=\frac{1}{\sin'(\arcsin(x))}=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}=\frac{1}{\sqrt{ 1-x^{2} }}$ ## III Théorème de Rolle et conséquences ### 1] Extremum d'une fonction dérivable ![[2 cm 2 2 2024-03-08 09.45.05.excalidraw.png]] %%[[2 cm 2 2 2024-03-08 09.45.05.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% >[!definition] >Soit $f : \mathcal{I} ->\mathbb{R}$, soit $a \in \mathcal{I}$. >On dit que $f$ admet un minimum local en $a$ si: >$\exists h>0, \forall x \in \left( [a-h;a+h] \cap \mathcal{I} \right) \, f(x) \geq f(a)$ >[!definition] On dit que $f$ admet un extremum local en $a$, si elle admet un $min$ local ou un max local en $a$ >[!attention] >Extremum local $\not{\Leftrightarrow}$ $f'(a)=0$ >[!theoreme] > Soit $f : \mathcal{I} \to \mathbb{R} , a \in \mathcal{I}$ > avec $a$ qui n'est pas au bord de $\mathcal{I}$. > Si $f$ admet un extremum local $a$. __ALORS__ $f'(a)=0$ >[!demonstration] >Soit $f'(a) = \lim_{ x \to a }\frac{f'(a)-f(x)}{a-x}$ > Si $f$ admet un max local en $a$, alors: > $\begin{align*} & \lim_{ x \to a^{-} } \frac{f(a)-f(x)}{a-x} \geq 0 \\ &\lim_{ x \to a^{+} } \frac{f(a)-f(x)}{a-x} \leq 0\\ \implies f'(a) &= 0 \end{align*}$ --- >[!theoreme] >Soit $f$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, vérifiant $f(a)=f(b)$, il existe un point $c \in ]a,b[$ où $f'(c)=0$ >[!theoreme] Théorème des accroissement finis >soit $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, alors $\exists c \in ]a,b[\,, \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ >Autrement dit: $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ ## IV] Application du TAF ### Sens de variation >[!theoreme] >Soit $f : \mathcal{I} \to \mathbb{R}$ et $\mathcal{I}$ un __intervalle__. Et $f$ dérivable sur $\mathcal{I}$. >Si $f'\geq 0$ alors $f$ est croissante 🥐 >Si $f'\leq 0$ alors $f$ est décroissante >Si $f'=0$ alors $f$ est constante >[!warning] >C'est bien un intervalle qui est important, $\mathbb{R}^{*}$ n'est pas un intervalle, par exemple $x^{-1}$ sur $\mathbb{R}^{*}$ est pas décroissante, mais $x^{-1}$ est décroissante sur $\mathbb{R}^{+*}$ et $\mathbb{R}^{-*}$ >[!demonstration] >Si $f$ est croissante, alors >pour $x\geq a$: >$\begin{align*} &= \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ &= \frac{\text{positif}}{\text{positif}} \implies \text{positif} \end{align*}$ > Pour $x\leq a$: >$\begin{align*} &= \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ &= \frac{\text{negatif}}{\text{negatif}} \implies \text{positif} \end{align*}$ > Sachant que $f'(a) = \lim_{ x \to a } \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $ > Donc pour $\forall x \in \mathcal{I}/a$ alors: $f'(a)>0$ >[!warning] >Cette démonstration ne s'applique pas aisément au bords > --- >[!demonstration] >Maintenant la démonstration de la __réciproque__ (si $f'$ positifs => $f$ est croissante) >On suppose $f' \geq 0$ sur $\mathcal{I}$, soit $a<b$ dans $\mathcal{I}$. Je veux montrer que $f(a)\leq f(b)$. On applique alors le __TAF__ (car elle est continue car dérivable...) >$\begin{align*} \exists c \in ]a,b[, f(b)-f(a) &= f'(c)(b-a)\\ &= f'(c) \text{ (positif) } \times (b-a) \text{(positif)}\\ \implies f(b)-f(a) &> 0 \end{align*}$ ----- >[!proposition] >Si $f'>0$ sur $\mathcal{I}$ __alors__ $f$ est strict croissante sur $\mathcal{I}$ . >[!remarque] >Or, si on regarde $x^{3}$, elle a une dérivée qui a $f'=0$ pourtant elle reste strictement croissante. >En réalité, le résultat reste vrai si $f'$ s'annule un nombre fini de fois sur $\mathcal{I}$. Si c'est un intervalle, par exemple $\forall x \in [a,b] => f'(x)=0$ cela ne fonctionne pas. Mais si c'est un __unique point__ (ou un ensemble d'uniques points) $x \in \{A\} \implies f'(x)=0$ le théorème fonctionne ----- ### 2] Prolongement de la dérivée >[!abstract] >Soit $f: ]0,2[$ et on sait qu'elle est dérivable sur $\mathcal{I_{1}}=]0,1[$ et $\mathcal{I_{2}}=]1,2[$. Il reste le point $1$ qui est triste tout seul. >On a alors plusieurs idées: >__Idée 1__: >$\frac{f(1)-f(x)}{1-x} \to_{x \to 1} ?$ >__Idée 2__: >Appliquer la formule $f'(x)=x^{2}$ pour $x\neq 1$. Alors why not faire $f'(1)=1^{2}$ >_et là, c'est le drame_. >En réalité, cela ne fonctionne pas. L'__Idée 2__ ne fonctionne pas. On ne peut pas déduire du prolongement de la dérivée de la fonction juste à partir d'autres dérivées. $f'$ peut ne pas être continue. >[!theoreme] >Afin d'appliquer l'__idée 2__: >Soit $\mathcal{I}$ un __intervalle__, soit $a \in \mathcal{I}$, on suppose que: >- $f$ est dérivable sur $\mathcal{I} \setminus \{ a \}$ >- $f$ est __continue__ sur $\mathcal{I}$ >- et $f'(a)\to_{x \to a} l$ > >Alors $f$ dérivable en $a$ et $f'(a)=l$ >[!warning] >__c'est une implication pas une équivalence__ >[!remarque] >Si $a$ est au bords de l'intervalle $\mathcal{I}$ on aura un théorème différent, c'est juste que l'on devra prendre la dérivabilité a droite/gauche >[!remarque] >En général, on évite d'utiliser ce théorème, c'est un peut une solution magique de dernier recours. Il est parfois moins risqué d'utiliser l'__idée 1__. Mais on est à l'INSA donc forcément ils vont nous donner les cas particulier pas fun. >[!theoreme] >Si on a $l= \pm \infty$ dans cet exemple alors $f$ n'est pas dérivable en $a$. Et elle aura une tangente verticale. > >[!exemple] >Soit $f$: $f(x)=\arcsin(1-x^{4})$, $f: [-1;1] \to \mathbb{R}$ (c'est pas la vrai définition de la fonction mais la vie est triste, donc moila) >$C^{0}/$dérivabilité: >$\begin{align*} g(x) &= 1-x^{4}\\ g \text{ est } C^{\infty} \text{ sur }& G_{in} \text{ à valeur dans } G_{res}\\ \arcsin \text{ est } C^{\infty} \text{ sur }& G_{res} \text{ à valeur dans } \mathbb{R} \end{align*}$ > Ainsi, $\arcsin$ impose à $G_{res}$ à avoir comme valeur $]-1;1[$ (or $g$ prends $[-1;1]\to [0;1]$donc $G_{in}$ aura la valeur $[-1;1] \setminus \{ 0 \}$. > Et du coup en $x=0?$ > On poura avoir: >__IDEE 1__: > $\begin{align*} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}&= \frac{\arcsin(1-x^{4})-\arcsin(1)}{x} \end{align*}$ > Mais on a pas encore les outils pour faire cette dérivée. >__IDEE 2:__ >Théorème du prolongement de la dérivée: >$\begin{align*} \frac{-4x^{3}}{\sqrt{ 1-(1-x^{4})^{2} }}&= \frac{-4x^{3}}{\sqrt{ x^{4}(2-x^{4}) }}\\ &= -\frac{4x}{\sqrt{ 2-x^{4} }} \end{align*}$ > Ce qui est chiant, c'est que l'on peut pas mettre $x=0$ MAIS on peut trouver les limites: > $f'(x) \to_{x\to {0}}0$ > Ainsi, $f'(0)\to {0}$ >[!todo] #TODO >reformuler ma rédaction de cet exemple