>[!shitpost] >Welcome to hell # Flash back espaces vectoriels Soit deux espaces vectoriels, on se rappelle que l'union des deux espaces vectoriels ne forment pas forcément un nouvel espace vectoriel, par exemple l'union de deux droite dans $\mathbb{R}^{2}$ ne donne pas toujours un espace vectoriel. On va donc créer une opération afin de rendre cet énoncé valide. >[!definition] >Soit $E$ un espace vectoriel, soient $F$ et $G$ deux sous espace vectoriel de $E$, on appelle la somme de $F$ et de $G$ (noté: $F+G$), l'ensemble de $x$ et de $t$ qui peuvent s'écrire sosu la forme: $x=f+g$, avec $f \in F$ et $g \in G$. >Ou: $\begin{align*} F+G&= \{x\in E | \exists f \in F, \exists g \in G, x = f+g\}\\ &= \{ f+g | f \in F, g \in G \} \end{align*}$ >[!propriete] >c'est un sous espace vectoriel de $E$. >[!exemple] >Soit $F = \{ (x,0,0) | x \in \mathbb{R} \}$ >$G = \{ (0,y,0) | y \in \mathbb{R}\}$ >Donc $F+G=\{ (x,y,0) | x,y \in \mathbb{R}^{2} \}$ >[!exemple] >Soit $E = \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et $F=\mathbb{R}[X]$, et $G=Vect(\sin, \cos)$; >Donc $F+G=\{ P+\lambda \cos+\mu \sin | \,P \in \mathbb{R}[X]\, x,y \in \mathbb{R}^{2} \}$ >Donc une fonction qui fonctionne (pun unintended) c'est: $v: x^{2}+3-8\sin(x)$ >[!propriete] >$F+G$ est l'ensemble des combinaisons linéaire d'éléments de $F$ et de $G$. >Et donc, $F+G=Vect(F \cup G)$ >C'est même le "plus petit" sous espace vectoriel de $E$ contenant $F \cup G$ # En dimension finie >[!propriete] >Soient $F$ et $G$ deux sous espaces vectoriels de $E$,de dimension finies (non nulles). Soient $f_{1},\dots,f_{p}$ génératrice de $F$ et $g_{1}\dots,g_{p}$ génératrice de $G$. Alors $F+G=Vect(f_{1},\dots,f_{p},g_{1},\dots,g_{p})$ >[!remarque] >On doit faire attention, la base des deux familles ne forme pas toujours une base (Exemple si on a deux fois la même famille). >[!rappel] >$dim F = card(base)$ >[!rappel] >__Dimension finie__: il existe une famille génératrice de $f$. >[!corollaire] >Si $B_{F}$ est une base de $F$ et $B_{G}$ une base de $G$ On peut obtenir une base de $F+G$, en utilisant les zéros échelonnés sur $B_{F} \cup B_{G}$ >$\begin{align*} E=\mathbb{R}[X], \, F &= Vect(1, x^{2}+2) \\ G&= Vect(x+1, x^{2}) \\ F+G&= Vect(1,x^{2}+2,x+1, x^{2}) \end{align*}$ >[!theoreme] Formule de Grassmann >Soient $F$ et $G$ deux SEV de dimension finies: >$dim F+G = dim F+dim G - dim F \cap G$ >[!warning] >La formule, de Grassman, il faut faire attention de bien prendre les bons vecteurs. >On __construit premièrement__ $dim \, F \cap G$ >__Ensuite__, on prend un vecteur de la base d'intersection pour décrire $F$ et $G$. Ainsi: >[!demonstration] >Soit $\mathcal{C}=(x_{1},\dots,x_{p})$ une base de $F \cap G$. >On complète en $t=(x_{1},\dots,x_{p}, y_{p+1},\dots,y_{p+n})$ une base de $\mathcal{F}$. >On complète également en $\mathcal{B}=(x_{1},\dots,x_{p},z_{p+1},\dots,z_{p+s})$ une base de $\mathcal{G}$. >Avec ces notations: $dim \mathcal{F}=p+r$, $dim \mathcal{G}=p+s$ et $dim F \cap G=p$. >Mq: $\mathcal{D}=(x_{1},\dots,x_{p},y_{p+1},\dots,y_{p+n},z_{p+1},\dots,z_{p+s})$ est une base de $F+G$. Elle est donc: >- Génératrice de manière évidente >- et libre >Soit: $\alpha_{1},\dots,\beta_{p},\dots, \gamma_{p}$ tel que: >$u=\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{p}x_{p} + \beta_{p}y_{p}+\dots y_{p+n}=\gamma_{p}z_{p}+\dots+\gamma_{p+s}z_{p+s}$ >Ainsi, sachant que $u$ est dans $\mathcal{F}$ il est également dans $\mathcal{G}$. Cela implique qu'il est dans $\mathcal{F} \cap \mathcal{G}$. Donc $u$ est une combinaison linéaire des $x_{i}$ # Sommes directes, espaces supplémentaires >[!remarque] >En gros, on va faire une somme d'espace vectoriel, en essayant que l'intersection soit nulle. ## 1. Somme directe >[!definition] >Soit $\mathcal{F}$ et $\mathcal{G}$ 2 sous espaces vectoriels de $E$. On dit que $F$ et $G$ sont en somme directe si $\begin{align*} \forall x &\in \mathcal{F}+\mathcal{G},\\ &\exists! f \in \mathcal{F},\\ &\exists! g \in \mathcal{G},\\ x&=f+g \end{align*}$ > On note alors $F \oplus G$. > Exemple: ![[2 cm 3 - algèbre 2024-03-22 09.24.24.excalidraw.png]] %%[[2 cm 3 - algèbre 2024-03-22 09.24.24.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% >[!theoreme] >$\mathcal{F}$ et $\mathcal{G}$ sont en somme directe $\Leftrightarrow$ $F\cap G=\{ 0_{E} \}$ >[!shitpost] >Les maths sont grossophobes, donc c'est différents sur les espaces plus grand que $\mathbb{R}^{3}$/différents >[!exemple] >$\begin{align*} E&= \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\\ P&= \{ f \in E , f \text{ est paire} \}\\ I&= \{ f \in E, f \text{ est impaire} \} \end{align*}$ >On sait que vue qu'il existe des fonctions qui sont ni paires, ni impaires: $P \cup I \neq E$. >Par exemple: $\exp \in E$, $\sin \in I$... >ON va noter que: $E=P\oplus I$. >Or, on sait que toutes fonctions peuvent être décomposées comme fonction paires et impaires, donc: >$\begin{align*} f(x)&= f_{paire}(x)+f_{impaire}(x)\\ f_{paire}&= \frac{[f(x)+f(-x)]}{2}\\ f_{impaire}&= \frac{[f(x)-f(-x)]}{2} \end{align*}$ > Ainsi, toutes fonctions peut être décomposée sous deux fonctions avec une dans $P$ et l'autre dans $I$. Ce qui implique que $P \oplus I=E$. > __Autre démonstration:__ > Soit $f \in P \cap I$ > $f(-x)=f(x)=f(-x) \implies f(x) = 0 \, \forall x \in \mathbb{R}$. > Or cette fonction magique est unique. > ... >[!propriete] >Soient $F$ et $G$ 2 sous espaces vectoriels de $E$ de dimensiosn finies. >$F+G$ est directe $\Leftrightarrow$ $dim F+G=dim F+ dimG$. ## Espaces supplémentaires >[!definition] >On dit que $F$ et $G$ deux sous espaces vectoriels de $E$ sont supplémentaires si: >$F \oplus G=E$ (càd: $F+G=E$ __et__ la somme est directe) >Ainsi: $F$ et $G$ sont supplémentaires $\Leftrightarrow$: >$\begin{align*} \forall x &\in E,\\ &\exists! f \in F,\\ &\exists! g \in G,\\ f+g&= x \end{align*}$ >[!exemple] Contre-exemple >![[2 cm 3 - algèbre 2024-03-22 09.43.39.excalidraw.png]] %%[[2 cm 3 - algèbre 2024-03-22 09.43.39.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% ---- >[!exemple] >soit $P$ et $I$ sont supplémentaires dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. >(cf exemple précédents pour la définition de $P$ et $I$) >[!warning] >Ne pas confondre supplémentaire et complémentaire. >[!remarque] >Il n'y a qu'un complémentaire de $\mathcal{F}$ mais il y plusieurs supplémentaires de $\mathcal{F}$. ## En dimension finie >[!propriete] >Soient $F$ et $G$, 2 sous espaces vectoriels de $E$, $E$ de dimension finie. >Soit $\mathcal{B}_{F}$ une base de $F$, $\mathcal{B}_{G}$ une base de $G$. >On a les équivalences: >$\begin{align*} E=F+G &\Leftrightarrow \mathcal{B}_{F} \cup \mathcal{B}_{G} \text{ génératrice de } E\\ F \cap G = \{ 0_{E} \} &\Leftrightarrow \mathcal{B}_{F} \cup \mathcal{B}_{G} \text{ libre}\\ F \text{ et } G \text{ sont supplémentaires } &\Leftrightarrow \mathcal{B}_{F} \cup \mathcal{B}_{G} \text{ est une base} \end{align*}$ >[!demonstration] >Ayant la flemme, la démonstration est laissée comme exercice pour le lecteur >[!propriete] >Soit $E$, de dimension finie, et $F$ un sous espace vectoriel de $E$. >Alors $F$ admet des supplémentaire dans $E$. >et si $dim\,E=n$ et $dim\,F=p$ alors la dimension d'__un__ supplémentaire est $n-p$. >[!demonstration] >On a signé une NDA ---- >[!theoreme] >Soit $E$ de dimension finie, soit $F$ et $G$ 2 sous espaces vectoriels $F$ et $G$ sont supplémentaires: >$\begin{align*} &\Leftrightarrow F\oplus G=E\\ &\Leftrightarrow F+G=E \text{ et } dim E &= dim F + dim G\\ &\Leftrightarrow F \cap G =\{ 0_{E \}} \end{align*}$ # III] Homothéties et projections ## 1. Homothétie vectorielle >[!definition] >On aura une homothétie si on a: >$f(x)=kx$ >Avec $k\in\mathbb{K}$ ## 2. Projection vectorielle >[!definition] >Soit $E$ un espace vectoriel , soient $F$ et $G$ 2 sous espace vectoriels supplémentaires. >Alors: >$x \in E, \exists! x_{F} \in F,\, \exists! x_{G}\in G,\, x=x_{F}+x_{G}$ >On appelle donc projection sur $F$ parallèlement à $G$ l'endomorphisme de $E$ défini par $p(x)=x_{F}$. >__en résumé__: Chaque vecteurs peuvent être décrit comme deux partie dans chaque sous espace vectoriels supplémentaires. Et la projection c'est prendre une partie de ses espaces vectoriels. >![[2 cm 3 - algèbre 2024-03-25 09.16.35.excalidraw.png]] %%[[2 cm 3 - algèbre 2024-03-25 09.16.35.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% >![[2 cm 3 - algèbre 2024-03-25 09.21.30.excalidraw.png]] %%[[2 cm 3 - algèbre 2024-03-25 09.21.30.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% >[!propriete] >$Im p = F$ >$Ker\, p = G$ >$p \circ p=p(x)$ => implique que l'on a pas de projection inverse ! (?) >[!theoreme] >Soit $E$ un sous espace vectoriel, soit $p$ un endomorphisme de $E$. >Si $p \circ p = p$. Alors: $Ker \,p$ et $Im\,p$ sont supplémentaires, et $p$ est __LA__ projection en $Im\,p$ parallèlement à $Ker \, p$ >[!demonstration] >$\begin{align*} Ker \, p + Im \, p &= E\\ x&= x-p(x)+p(x)\\ p(x) &\in Im\,p \\ p(y)&= p(x-p(x))=p(x)-p(p(x))=0_{E} \\ \implies x-p(x) &\in Ker\,p\\ &x_{ker \, p} + x_{im\,p}\\ Im \cap Ker &= \{ 0 \} \end{align*}$