# I] Formule de Taylor Young
## 1] Formule à l'ordre $n$
>[!theoreme]
>$
f(x) =^{x \to a} \sum \frac{f^{n}(a)(x-a)^{n}}{n!} + o((x-a)^{n})$
>[!exemple]
>$\exp$ en $a=0$
>On aura:
>$f(0)=f'(0)=f''(0)=\dots$
> On aura: $e^{x}=^{x\to_{0}}1+x+\frac{1}{2}x^{2}+o(x^2)$
> Ainsi, on aura:
> $\begin{align*}
e^{x} &\sim^{0} 1 \\
e^{x}-1 &\sim^{0} x \\
e^{x}-1-x &\sim^{0} \frac{x^{2}}{2}
\end{align*}$
> On peut aussi utiliser cette formulle pour démontrer:
> $\lim_{ x \to 0 } \frac{e^{x}-1-x}{x^{2}} \to \frac{1}{2} $
## 2] Exemples a connaitre par 🖤
>[!propriete]
>$\begin{align*}
e^{x} &=^{0} 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + o(x^{n})\\
\text{sh}(x) &=^{0} x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \dots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2})\\
\text{ch}(x) &=^{0} 1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \dots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})\\
\cos(x) &=^{0} 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!}+\dots+ \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n!} + o(x^{2n+1})\\
\sin(x) &=^{0} x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!}+\dots+ \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2(n+1)})\\
\frac{1}{1-x} &=^{0} 1+x+x^{2}\dots + x^{n} +o(x^{n})\\
\frac{1}{1+x} &=^{0} 1-x+x^{2}-\dots - x^{n} +o(x^{n})\\
\ln(1+x) &=^{0} x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\dots+ o(x^{n})\\
(1+x)^{\alpha}&=^{0} 1+\alpha x + \frac{\alpha (\alpha-1)}{2!} x^{2} + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^{3} + \dots + o(x^{n})\\
\sqrt{ 1+x } &=^{0} 1+\frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^{2} + o(x^{2})
\end{align*}
$
# II] Développements limités
## Définition
>[!definition]
>Soit $f$ définie sur un voisinage de $a$ (sauf éventuellement au point $a$).
> > En gros elle est pas forcément définie en $a$, mais elle doit être définie aux alentours de $a$.
>
> On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ si il existe des réels $a_{0},a_{1},\dots, a_{n}$ tels que:
> $f(x) = a_{0}+a_{1}(x-a) + a_{2}(x-a)^{2}+\dots+a_{n}(x-a)^{n}+o((x-a)^{n})$
Autrement dit:
Il existe un polynôme $P$ de degré $n$ tel que:
$
f(x) = P(x-a) + o((x-a)^{n})
$
On note: "$f$ admet un $DL_{n}(a)
quot;
>[!exemple]
>Un $DL_{2}(0)$ de $e$ est: $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^2)$
## Propriétés
>[!propriete] Unicité du $DL$
>Soit $f$ admettant un $DL_{n}(x)$, alors celui ci est unique.
# Compositions de DL
On doit adapter la fomrulles afin d'avoir un DL d'ordre 4.
Par exemple:
$
e^{x^{2}}
$
On aura:
$
\begin{align*}
e^{x} &= 1+x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\\
e^{x^{2}} &= 1+x^{2}+\frac{x^{4}}{4}+o(x^{4})
\end{align*}
$
Son ordre peut alors être modifié !
-------
$
\begin{align*}
e^{x}&= 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+o(x^{4})\\
e^{({x})^{2}} &= 1+x^{2}+\frac{x^{4}}{4}+o(x^4)\\
e^{x}*e^{x^{2}} =& 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\\
& x^{2} +x^{3}+ o(x^3)\\
&= 1+x+x^{2}+\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}+(3!)x^{3}}{3!}+o(x^{3})
\end{align*}
$
------
# Développement asymptotique
>[!remarque]
>On fait ce que l'on peut
>[!rappel]
>On sait qu'une $DL$ à l'ordre 0 au voisinage d'un point:
>$\begin{align*}
f(x) &=^{x\to {0}} \dots+\dots x+\dots x^{2}+o(x^{2})
\end{align*}$
> Et donc pour un ordre 0 au voisinage d'un point $\alpha$
> $\begin{align*}
f(x) &=^{x\to {0}} \dots+\dots (x-\alpha)+\dots (x-\alpha)^{2}+o((x-\alpha)^{2})
\end{align*}$
Donc c'est une étude au voisinage:
![[Pasted image 20240527091014.png]]
Or, on ne peut pas faire un développement limité en $+\infty$ car ce n'est pas un __point__.
Donc en $+\infty$ la méthode se veut un peu plus différente.
>[!definition]
>Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $+\infty$ ou $-\infty$
>On dit que $f$ admet un développement asymptotique à l'ordre $n$ en $+\infty$ s'il existe $a_{0},a_{1},\dots,a_{n}$ tel que:
>$f(x) = a_{0}+\frac{a_{1}}{x}+\dots+\frac{a_{n}}{x^{n}}+o\left( \frac{1}{x^{n}} \right)$
>On peut comprendre que les puissances sont rangées à l'envert car contrairement à taylor young. $x^{n}$ est négligeable devant $x^{n+1}$.
>[!warning]
>C'est un développement brutal, on aura forcément $a_{n}$ qui ne dépendra pas de $x$. C'est une approximation polynomiale.
>[!remarque]
>On peut avoir:
>$f(x) = 3x + 1 + \frac{2}{x} + o\left( \frac{1}{x} \right)$
>[!exemple]
>$\begin{align*}
f(x)&= x e^{ \frac{1}{x} }
\end{align*}$
Le développement à l'ordre $1$:
$\begin{align*}
f(x) &= a_{0}+\frac{a_{1}}{x} + o\left( \frac{1}{x} \right)\\
\end{align*}$
On pose:
$\begin{align*}
\frac{1}{x} &= X\\
x &= \frac{1}{X}
\end{align*}
$
ce qui implique que l'on aura:
$
f(X) = a_{0}+a_{1}X + o(X)
$
Avec:
$
f(X) = \frac{1}{X} e^{X}
$
Or:
$
\begin{align*}
e^{\left( \frac{x}{1} \right)}&= 1+ \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^{2}}+\frac{1}{6x^{3}}+o(x^{-3})\\
x e^{\left( \frac{x}{1} \right)}&= x+ 1 + \frac{1}{2x}+\frac{1}{6x^{2}}+o(x^{-2})
\end{align*}$