# Géometrie des masses >[!definition] >La géométrie des masses est l'étude d'un système de points matériel $P_{i}$ (ou d'éléments infiniment petits), affectés de coefficients positifs $m_{i}$ (ou $dm_{i}$) appelés masses. ## Masse d'un système matériel >[!definition] >Pour un ensemble de points $P_{i}$ de masses $m_{i}$, alors la masse totale $\mathcal{M}$ serra: $\mathcal{M}=\sum_{i=1}^{N}m_{i}$ >Mais on pourra avoir un ensemble de répartition continue. Ce qui donnera: >$\mathcal{M} = \int \, dm $ ### Mais $dm$ kézako ? >[!definition] >Il peut être différentes choses: > - Une __répartition linéique__ de masse. Où: $\lambda (kg.m^{-1}) * dl = dm$: ![[Pasted image 20240308165906.png]] > - Une __répartition surfacique__ de masse. Où: $\sigma (kg.m^{-2}) * ds = dm$: ![[Pasted image 20240308170016.png]] > - Une __répartition volumique__ de masse. Où: $\rho (kg.m^{-3}) * dv = dm$: ![[Pasted image 20240308170008.png]] >[!remarque] >Parfois, si la masse volumique est constante, tu es heureux, mais la vie est triste, donc ces grandeurs ne seront plus des constantes et l'intégrale serra plus difficile. ## Barycentre -Centre d'inertie ### A barycentre : définition >[!definition] > Le barycentre d'un système (S) formé de $N$ points $P_{i}$ de coefficients de pondération $a_i$ est le point $G$ vérifiant: $\sum^{N}_{i=1}a_{i} \vec{GP_{i}}=\vec{0}$ > Soit en introduisant un point quelconque $A$ et en utilisant la relation de chasles: > $ \left(\sum^{N}_{i=1}a_{i}\right)\vec{AG} =\sum^{N}_{i=1}a_{i} \vec{AP_{i}} $ >[!remarque] >On prendra généralement le point origine $O$ pour déterminer les coordonnées de $G$. >[!remarque] >On overengineer juste légèrement: c'est juste une moyenne ----- ### Cas particulier les $a_{i}$ sont des masses $m_{i}$ >[!definition] >Le centre d'inertie $G$ d'un système $(S)$ formé de $N$ points $P_{i}$ de masses $m_{i}$ est le barycentre des $P_{i}$ affectés de coefficients égaux à leurs masses $m_{i}$. >[!warning] >CENTRE INERTIE/MASSE != CENTRE GRAVITÉ On aura donc: $ \begin{align*} M \cdot \vec{AG} &= \sum^{n}_{i=1} m_{i} \vec{AP_{i}}\\ &= \sum^{N}_{i=1}m_{i} \vec{GP_{i}}=\vec{0} \end{align*} $ > Centre de gravité assumé comme égal au centre de masse car on est physicien donc on aimes les incertitudes partout. ($g$ est en réalité presque égal) $ \begin{align*} \int dm \vec{GP} =\vec{0} \\ \int dm \, \vec{AP} &= M.\vec{AG} \end{align*} $ ---- >[!exemple] > Détermination de la position du centre d'inertie $G$. > ![[Pasted image 20240308171454.png]] >>[!remarque] >>Première chose à faire: analyser la symétrie de la répartition de masse. > > On aura donc: > $M.\vec{OG}=\int _{\text{cylindre}} dm. \vec{OP}$ >On remarque que tout les plans qui contiennent l'axe $\vec{z}$ sont symétrique. C'est un axe de __révolution__. De plus on a un plan $xOy$ de symétrie (au niveau $\frac{h}{2}$). >La masse volumique $\mu$ est considérée constante. $\frac{M}{V}=\mu$. C'est donc analyse géométrique est la même que la géométrie de masse. Uniquement quand $\mu$ est constant. >>[!remarque] >>$P$ est le centre de masse de $dm$. Cas particulier où $M=\mu V$. > > Donc si on projette: ![[Pasted image 20240308171741.png]] >[!exemple] __Exemple d'un cylindre non homogène__ 😿 >$dv=\rho \,d\rho\, d\phi\, dz$ >Sachant que $\mu=\mu(\rho,\phi,z)$ >Donc: $dm=\mu(\rho,\phi,z)dv$ >![[Pasted image 20240308172351.png]] >- Si on a $\mu u=\mu(\rho)$: la surface: $dv =2\pi \rho H\times d\rho$ (manche de cylindre) $\implies$ on aura le même centre que le centre géométrique, car il garde les mêmes centres géométriques >- Si on a $\mu u=\mu(z)$: la surface: $\times dz$ (un mini cylindre vertical) $\implies$ >- Si on a $\mu u=\mu(\phi)$: la surface: $\times d\phi$ (une coupe de pizza) ## Moment d'inertie par rapport à un axe >[!problem] >Comment calculer l'énergie cinétique: >- D'un point matériel ? >- D'un solide en translation ? >- D'un solide en rotation autour d'un axe fixe ? >[!remarque] Quand on a un solide en rotation autour d'un axe, l'importance est la répartition de la masse par rapport à l'axe de rotation. Donc le moment d'inertie va représenter cette répartition de la masse. >[!remarque] >Le moment d'inertie n'est pas uniquement lié à la masse, mais comment la masse est répartie par rapport à l'axe de rotation. >[!definition] >L'énergie: >$E=\frac{1}{2}J_{\Delta} \Omega^{2}$ >Avec $\Omega$ la vitesse angulaire #### Système matériel >[!definition] Définition points matériels >Le moment d'inertie par rapport à un axe $\Delta$ d'un système $(S)$ formé de $n$ points matériels $P_{i}$ de masses $m_{i}$ est donné par: >$J_{\Delta}=\sum^{N}_{i=1} m_{i} \times [d(P_{i}, \Delta)]^{2}$ >Donc $d(P_{i}, \Delta)$ est la distance du point $P_{i}$ à l'axe $\Delta$. >[!exemple] >![[2 cm 1 - géometrie de masse cinétique 2024-03-13 11.09.00.excalidraw.png]] %%[[2 cm 1 - géometrie de masse cinétique 2024-03-13 11.09.00.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% > on aura donc: $J_{\Delta}=m_{1}d_{1}^{2}+m_{2}d_{2}^{2}+m_{3}d_{3}^{2}$ > Si on augmente la __distance__ entre les points, on aura $J$ qui augmente ---- #### Système continu >[!definition] Définition système continu >On aura: >$J_{\Delta} \int dJ_{\Delta} $ >où: >$dJ_{\Delta}=[d(P,\Delta)]^{2} \times dm$ > >[!warning] >Découpage en éléments de volume $dV$ tels que: >- __masse volumique__ = constante >- __tout les points sont à la même distance de l'axe__. >[!exemple] >Moment d'inertie d'un cylindre homogène par rapport à son axe de révolution $dV=?$ >![[2 cm 1 - géometrie de masse cinétique 2024-03-13 11.14.53.excalidraw.png]] %%[[2 cm 1 - géometrie de masse cinétique 2024-03-13 11.14.53.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% > Si on a les points $M(r, \theta,z)$ > On pourrait avoir: > - $\rho=\rho(z)$, on doit couper pour que tout les points soient à la même distance de l'axe. Donc on aura un manchon de hauteur $dz$ >[!exemple] >Soit une pendule perpendiculaire à un axe $G$ qui est à lorigine, et $\Delta G$ qui est l'axe au niveau du pendule. On doit avoir $J_{\Delta G}$ simple, cela implique: >$J_{\Delta}=J_{\Delta G}+M \times d^{2}$ >![[2 cm 1 - géometrie de masse cinétique 2024-03-13 11.23.17.excalidraw.png]] %%[[2 cm 1 - géometrie de masse cinétique 2024-03-13 11.23.17.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% ### Théorème de Huyghens Ce théorème permet la comparaison des moments d'inertie d'un système matériel $S$ par rapport à des axes parallèles. Il s'énonce ainsi: >[!theoreme] >Le moment d'inertie d'un système matériel $S$ par rapport à un axe $\Delta$, est égal au moment d'inertie de $S$ par rapport à un axe $\Delta G$ parralèle $\Delta$. Passant par $G$ centre d'inertie de $S$ augmenté du moment d'inertie par rapport à $\Delta$ de la masse totale du système supposée centrée en $G$. >Donc: $J_{\Delta}=J_{\Delta_{G}}+Md^{2}$ # Cinétique ### Notion de quantité de mouvement >[!definition] __quantité de mouvement__ >Soit un repère $\mathcal{R}$ dans lequel sse déplace un point méteriel et /ou un solide indéformable. >- Pour le solide la loi de répartition de masse est: $dm M = \rho M dv$. >- La vitesse en chaque point $M$ de ce solide par rapport à $\mathcal{R}$ est $\vec{V}\left( M|_{\mathcal{R}} \right)$ et sera noté pour simplifier: $\vec{V}(M)$. >La quantité de mouvement élémentaire associé à l'élément de masse $dm(M)$ est: >$\vec{dq}(M)=\vec{V}(M)dm(M)$ ### Éléments cinétique: >[!definition] >Moment cinétique d'un point matériel par rapport à un point de l'espace: >Soit $O$ un point quelconque de l'eapce. Pour un point matériel $M$ de masse $m$ animé d'une vitesse $\vec{v}$ on définit le moment cinétique de ce point par rapport à $O$ par: >$\vec{\sigma_{o}}=\vec{OM} \times \vec{q}(M)$ Résultante cinétique: $\vec{C} \times \int \vec{dq}$ $ \begin{align*} \vec{M_{O\text{cinétique}}}&= \int \vec{OM} \times \vec{dq} \end{align*} $ >[!definition] Moment cinétique résultant en $O$ pour un système: >$\vec{M}_{O}(C)=\int_{S} \vec{OM} \times \vec{dq} = \int_{S} \vec{OM} \times V(m)dm(M) $ >Mais on aura: >$\vec{M_{O'}}(C)=\vec{M_{O}}(C)+\vec{O'O} \times \vec{C}$ >[!definition] Résultante cinétique: >On appelle résultante cinétique la quantité: >$\vec{C}=\int_{S} \, \vec{dq}(M) = \int_{S} \vec{V}(M) dm(M)$ >De la définition du centre de masse $G$ nous pouvons déduire la présentation suivante cinétique: >$\vec{C}=M.\vec{V}(G)$ >Donc la résultante cinétique du système, produit de la masse totale du système par le vecteur vitesse du centre de masse $G$ est donc la quantité de mouvement qu'aurait un élément matériel de masse $M$ concentré en $G$. ### Le torseur sans parler de torseur Soit: $[C]= \begin{cases} \vec{C} = \text{résulstante cinétique } \\ \vec{M_{O}}(C) = \text{moment cinétique résultant} \end{cases}$ Grâce aux propriétés d'additivité de l'intégration dans le cas d'un système $S$ composé de sous systèmes $S_j$ les éléments de réduction cinétique du système peuvent déduire des éléments cinétique des sous systèmes: >[!exemple] >$\vec{C}_{systeme}=\vec{C}_{1}+\vec{C}_{2}$ ### Energie cinétique >[!definition] >A chaque masse élémentaire $dm(M)$ du solide $S$ on associe la __grandeur scalaire:__ >$\frac{1}{2}\vec{V}(M|_{\mathcal{R}})dm(M)$ >On va donc dans un repère trouver l'énergie cinétique: >$E_{K}(\mathcal{R})=\frac{1}{2}\int_{s} \vec{V}^{2}(M|\mathcal{R_{0}})dm(M)$ ![[Pasted image 20240313115545.png]] Cas de la translation: $ \begin{align*} \int_{S} \frac{1}{2} dm v^{2} &= \frac{Mv^{2}1}{2} \end{align*} $ ### Eléments de réduction en dynamique _torseru_ $ \begin{align*} \vec{C}=\int \vec{V}(M) \, dm &= \int \frac{d\vec{OG}}{dt} \, dm + \int \frac{d\vec{GM}}{dt} \, dm \\ \int \vec{GM} dm&= \vec{0} \end{align*} $ >[!definition] >La quantité d'accélération associée à l'élément de masse $dm(M)$ est: >$ \vec{dj}(M)= \vec{a_{R_{0}}} (M)dm(M) $ >[!definition] >__Résultante dynamique__: >$\vec{D}=\int_{S} \vec{dj} = \int_{s} a(M)dm(M)$ >[!remarque] >$\vec{D}=M.\vec{a}(G)$ >[!definition] >Moment dynamique résultant en $O$: >$\vec{M_{O}(D)}=\int_{S} \vec{OM} \times \vec{dj} = \int_{S} \vec{OM} \times \vec{a} (M) dm(M) $ >[!definition] >$[D]=\begin{cases} \vec{D} \\\vec{M_{O}}(D) \end{cases}$ ![[Pasted image 20240320112630.png]]