$ Mzz=Mc(f)u_{z}=Cm.f_{\theta} $ $ \mathcal{P}=M_{\Delta}\vec{f} \frac{d\theta}{dt} $ ---- ### Travail le long d'un arc fini Le point d'application $M$ de la force décrit un arc $AB$ d'une courbe $C$ On aura: $ T_{A\to B}=\int_{AB} \, dT=\int_{AB} \vec{f} \, d\vec{l} $ >[!remarque] >Cas particulier d'une force constante au cours du déplacement. le travail dne dépend pas de la trajectoire suivie entre $A$ et $B$. >![[Pasted image 20240403111045.png]] #### Travail des forces intérieures à un système ![[Pasted image 20240403111015.png]] >[!remarque] >La somme des travaux élémentaires des forces intérieures lors d'un __déplacement élémentaire__ du solide est toujours nulle. >Cette propriété s'étend à tout déplacement fini. On aura: $ \sum_{i} T_{i} (\vec{F_{i}})=\vec{0} $ ---- #### Travail des forces extérieures à un système ##### Solide en translation Ayant le travail élémentaire $dT$. __Translation élémentaire $\vec{dl}$__: $ \begin{align*} dT &= \sum_{i} dT_{i}(\vec{F_{i \text{ ext}}}) \\ &= \sum_{i} \vec{F_{i \text{ ext}}} \vec{dl}\\ &= \vec{R} . \vec{dl} \end{align*} $ Ainsi, on aura: $ dT = \vec{R}.\vec{dl} = X dx + Ydy + Zdz $ >[!definition] >Translation finie: Le travail total le long de la courbe $\Gamma$. La somme des travaux des forces extérieures est alors: >$T = \int_{\Gamma} \vec{R}\, \vec{dl}= \int_{\Gamma} Xdx+Ydy+Zdz $ >[!remarque] >$S$ ou $R$ c'est la résultante #### Solide en rotation autour d'un axe fixe >[!definition] >![[2 cm 3 - Mecanique 2024-04-03 11.21.21.excalidraw.png]] %%[[2 cm 3 - Mecanique 2024-04-03 11.21.21.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% >Toute force $\vec{f_{i}}$ appliquée au solide effectue le travail élémentaire suivant: >$dT_{i}=M_{oz}(\vec{f_{i}})d\theta=N_{i} d\theta$ Avec: $ \vec{M_{o}}(\vec{F_{i}})=(L_{i},M_{i},N_{i}) $ Or, si on a la __somme__ des __travaux élémentaires__ des forces appliquées au solides est donc: $ dT = \sum_{i} dT_{i} = \sum N_{i} \cdot d\theta = \left[ \sum N_{i} \right] \cdot d\theta = N(\theta) d\theta $ $ T = \int^{\theta_{2}}_{\theta_{1}} dT = \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}N(\theta) \, d \theta $ ## Unités de puissance et de travail >[!definition] >$\mathcal{P}=\frac{dT}{dt}=\vec{f}.\vec{v}$ >En général le Watt etc... ## Énergie potentielle >[!remarque] >Les forces de pesanteur, et les forces élastiques sont des forces qui admettent des énergies potentielles. >[!definition] >Le travail élémentaire $dT$ c'est égal à la variation de $-E_{p}$. Si $E_{p}$ existe elle est définie à une constante près. On saura la variation mais pas la valeur exacte. ### Travail des efforts Le travail des efforts appliqué sur $\Sigma$ entre les isntants $t_{1}$ et $t_{2}$ est: $ T(t_{1},t_{2}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} dT = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathcal{P}(t)dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} -dE_{p} $ >[!remarque] >Lorsque $E_{p}$ ne dépend pas explicitement de $t$, le travail $T(t_{1},t_{2})$ ne dépend que des positions initiale et finale. >$T(t_{1},t_{2})= E_{p}[q_{i}(t_{1})]-E_{p}(q_{i}(t_{2}))$ #### Énergie potentielle de pesanteur (gravitationnelle) $ E_{p} = Mg \vec{Z} + cst $ ![[Pasted image 20240403114559.png]] #### Energie potentielle élastique On aura: $ \begin{align*} \vec{X} &= -k \vec{OP} = -k x \vec{u_{x}}\\ \vec{OP}&= x \end{align*} $ On aura: $ dT = \vec{X} . \vec{dl} = -kx \vec{u_{x}} dx \vec{u_{x}} $ Donc: $ dT = -k x dx $ On aura: $ T_{x_{1}\to x_{2}} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} -kxdx = \frac{1}{2} kx_{1}^{2}- \frac{1}{2} k x_{2}^2 $ ### Energie potentielle élastique $ \vec{X} = -k \vec{OP} = -kx \vec{u_{x}} $ ![[2 cm 3 - Mecanique 2024-04-10 11.09.59.excalidraw.png]] %%[[2 cm 3 - Mecanique 2024-04-10 11.09.59.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% Entre $P$ et $P'$ le travail élémentaire de la force $\vec{X}$ est: $ \begin{align*} dT &= \vec{X} . \vec{dl} = -kxu_{x} . dx u_{x} \\ &= -kxdx \end{align*} $ ![[Pasted image 20240410111309.png]] ![[Pasted image 20240410111323.png]] >[!remarque] >Stable: energie potentielle minimale >Instable: énergie potentielle maximale; ##### Conclusion ![[Pasted image 20240410113152.png]] ## Energie cinétique ### Point matériel ![[Pasted image 20240410113455.png]] ## Énergie mécanique >[!definition] >Soit un système conservatif c'est à dire qtel que les forces permettent de définir une énergie potentielle. >On appelle énergie mécanique sdu système, dans une configuration donnée la somme de ses énergies cinétique et potentielle, dsoit: $ E_{m} = E_{p} + E_{k} $ >[!theoreme] Theoreme fondamental >Considérons une transformation du système au cour de laquelle: >- l'énergie cinétique passe de $E_{kl}$ à $E_{k{2}}$, >- l'énergie potentielle passe de $E_{p_{1}}$ à $E_{p_{2}}$ >- l'énergie mécanique passe de $E_{m_{1}}$ à $E_{m_{2}}$ >Soient respectivement $\sum \mathcal{F}_{ext}$ et $\sum \mathcal{F}_{int}$ la somme des travaux des forces extérieures et la somme des travaux des forces intérieures au cours ee cette transformation. >Le théorème de l'énergie cinétique donne: >On va avoir des limites afin d'avoir toutes les forces ayant des énergie potentielle avec une énergie intérieure. >$\begin{align*} E_{k_{2}}-E_{k_{1}}&= \sum \mathcal{F}_{ext} + \sum \mathcal{F_{int}}\\ &= \sum \mathcal{F}_{ext} - (E_{p_{2}}-E_{p_{1}})\\ \Leftrightarrow E_{m_{2}} - E_{m_{1}} &= \sum \mathcal{F}_{ext} \end{align*}$ ![[Pasted image 20240410121444.png]]