>[!remarque] Programme de l'IE unité dimension incertitude électrocinétique (thevenin-norton et résolution de circuit) # Mécanique newtonienne ## Qu'est ce que la Mécanique ? >[!definition] >La mécanique newtonienne (ou classique) est un domaine de la physique. Plus précisément l'étude du mouvement (càd la connaissances des forces/action) avec des éléments qui ont des vitesses bien inférieur à la vitesse de la lumière. >[!definition] >__Force intérieure__: >__Force extérieure__: >[!definition] >__Stabilité d'un système__: un sorte de minimum local, où un système revient dans son état initial lorsqu'on le déplace un peut. ## Système matériel La __mécanique__ a pour principaux objectifs al compréhension et la prévision des mouvements dans le monde réel: - Points matériels: la physique du lycée - Solides indéformables - Systèmes complexes: composition ? Ainsi, tout problème de mécanique est lié dans un ensemble de forces dont: - les __masses__ réparties suivants des __géométries__, et on étudie des évolutions en fonction du __temps__. # Statique >[!definition] >__Point matériel__: on considère que toute la masse est concentré en un point; >[!definition] >La statique est __l'étude de l'équilibre__ (pas de mouvement). Ce système est à l'équilibre s'il existe un référentiel __galiléen__ dans lequel il est __immobile__. >Ainsi: $\sum_{i} \vec{F_{i}} = \vec{m}\vec{a} = \vec{0}$ >Mais cette condition n'est pas forcément valide pour un __système__, par exemple une rotatin. ![[cm 2 - mécanique statique 2023-11-06 08.30.43.excalidraw.svg]] >[!rappel] >![[cm 2 - mécanique statique 2023-11-06 08.28.12.excalidraw.svg]] >[!remarque] >On va projeter l'équation vectorielle dans un plan à 3 valeur. > ## Forces et moments ### Rappels concernant les forces >[!rappel] >![[Pasted image 20231106083428.png]] >[!rappel] > __Loi de l'action et de la réaction__: Si un élément matériel $A$ exerce sur un autre élément matériel $A'$ une force $\vec{F}$, réciproquement $A'$ exerce sur $A$ une force$\vec{F'}$ de même support. ### Moment d'une force par rapport à un point >[!remarque] >Pour parler d'un moment, on parle toujours d'un vecteur avec un point. >[!definition] >Soit une force dont le point d'application est $A$. On la notera $\vec{F_{A}}$. >Le moment de cette force par rapport à un point $P$ quelconque de l'espace est par définition >$\vec{M_{P}}(\vec{F_{A}}) = \vec{PA} \times \vec{F_{A}}$ >![[Pasted image 20231106083957.png]] >![[Pasted image 20231106084322.png]] >[!definition] >En gros, le moment d'une force ça décrit le bras de levier et l'effet de rotation de forces. >[!remarque] >Ce moment est lié a l'effet de bras de levier ($\vec{PH}$) >[!remarque] >On aura: $(\vec{PA},\vec{FA}, \vec{M_{P}})$ direct. >[!warning] >Un moment est un vecteur libre. Il n'est pas lié à un point, contrairement à sa définition (en gros sa formule en dépend mais pas son résultat). ## Moment d'une force par rapport à un axe >[!remarque] >On va calculer les moments de chaque force, on va le projeter sur les 3 axes, pour vérifier qu'elles sont bien égales à 0. >[!definition] >Soit une force dont le point d'application est $A$. On la notera $\vec{F_{A}}$. >Soit un axe $\Delta$ de vecteur directeur $\vec{u}$. Le moment de la force $\vec{F_{a}}$ par rapport à l'axe $\Delta$ est: >$\vec{M_{\Delta}}(\vec{F_{A}}) = M_{P \in \Delta}(\vec{F_{A}}) \times \vec{u} = (\vec{PA} \times f_{A}) . \vec{u}$ >Donc, le moment par rapport à un axe, c'est la projection du moment par rapport à un point sur l'axe. >__Note:__ $\vec{AH}$ représente le bras de levier. ![[Pasted image 20231113080900.png]] Ainsi, pour trouver la stabilité d'un système, on ferra la somme de chacun des moments par rapport aux 3 axes. Donc, un système est à l'équilibre, ssi la somme des moments est égale à 0 et la somme des forces est également égal à 0. Ainsi: $ \sum_{i} \vec{M_{0}}(\vec{F_{i}}) = \text{moment résultant} $ >[!exemple] Exemple de la porte >Pourquoi l'on met la poignée à l'extrémité de la porte. >![[Pasted image 20231113081143.png]] >- Dans le __1er cas__, le moment est égal à 0. >- Et le __3e cas__ est le cas avec une intensité importante. >- Et le __vecteur bleu__, le bras de levier serra plus important si elle est éloignée de l'axe de rotation. >[!warning] >Il faut faire attention à la force et à sa direction. Car avec la règle de la main droite on peut facilement pleurer en écrivant des bétises. ## Forces intérieures et extérieures Soit un système formé de points matériels $A_{i}(M_{i})$ (c'est une modélisation, c'est un centre de gravité). ![[cm 2 - mécanique statique 2023-11-13 08.17.06.excalidraw.svg]] Les forces appliquées aux divers points $A_{i}$ du système se classent en: - __Forces intérieures__: provenant de l'action d'autres points du système ($S$). - __Force extérieures__: provenant de l'action d'agent extérieures au système $(S)$ >[!remarque] >Tout les moments doivent être calculés au même point >[!defintion] Loi de l'action et de la réaction >La somme géométrique des forces intérieures est __nulle__: $\sum_{i}\vec{F}_{i\text{ intérieure}} = \vec{0}$ >La somme géométrique des moments des forces intérieures par rapport à tout point $P$ est nulle: >$\sum_{i}\vec{M_{P}}(\vec{F}_{i\text{ intérieure}}) = \vec{0}$ ## Forces extérieures appliquées à un système >[!warning] >Une force résultante n'est pas lié à un point. Il n'y a pas de point d'application. >[!definition] Résultante >$\sum_{j} \vec{F}_{j \text{extérieure}} = \vec{R}$ >[!definition] Moment résultant$/P$ >$\sum_{j} \vec{M_{P}}(\vec{F}_{j \text{extérieure}}) = \vec{\Gamma}_{P}$ On peut trouver la résultante à partir des différentes forces On sait également que: (à relire) $ M_{P}(\vec{R}) = \vec{0} $ ### Systèmes équivalents: >[!definition] >Pour que deux systèmes de forces soient équivalents, on doit avoir: >- Des résultantes égales >- Des moments résultant égaux en __un même point__ $P$ ## Réduction d'un système de force Réduire un système de forces c'est trouver un système plus simple qui lui soit équivalent (mêmes éléments vectoriels en un point $P$). >[!definition] >Le système nul, ou zéro est définis sous la forme: >$\begin{align*} \vec{R} &= \vec{0}\\ \vec{\Gamma_{P}}&= \vec{0} \end{align*}$ Il suffit de montrer qu'il existe un point $P$ tel que: $ \begin{align*} \vec{\Gamma_{P}}&= \sum_{i} \vec{M_{p}}(\vec{F_{i}}) = \vec{0}\\ &\implies \forall P \in \text{espace} \end{align*} $ Il me suffit de trouver un point $P$ où le moment est égal à 0 pour que cela fonctionne pour tout les points de l'espace. (?) Quel lien entre $\vec{M}_{m}(\vec{F}_{A})$ et $\vec{M}_{m}(\vec{F}_{B})$ ? ### Système équivalent à un __couple__ Si on a un système où on a: $ \begin{align*} \vec{\Gamma_{P}} &\neq 0\\ \vec{R} &= 0 \end{align*} $ Ce système peut être réduit à un couple. >[!remarque] >En gros, cela reviendrait à une rotation dans le plan. >[!exemple] >Le système de deux forces, $F_{1}$ et $F_{2}$ appliquées à un solide est équivalent à un couple si les forces ont: >- des supports parallèles >- des sens opposés >- même norme $F$ >- des supports distincts >![[Pasted image 20231113083952.png]] >Ainsi, on aurait dans cet exemple: $\vec{R} = \vec{F_{1}}+\vec{F_{2}}= \vec{0}$ et on aura: $\vec{M_{O}}(\vec{F_{1}}) + \vec{M_{O}}(\vec{F_{2}}) = hF \vec{k}$ ### Système de forces équivalent à: une force unique >[!remarque ] Ici, c'est le seul cas où le moment résultant est égal au moment de la résultante. On cherches: $ \begin{align*} \vec{R} &= \vec{F_{A}} \\ \vec{\Gamma_{A}} &= \vec{0} \end{align*} $ On aura deux configuration: #### I] Forces concourantes en un point $A$ >[!definition] > ![[Pasted image 20231113084550.png]] > Il faut que les forces soient concourantes en un unique point $A$ >[!remarque] >Le point $A$ peut être en dehors du solide. >[!remarque] >Si toutes les forces sont dans un même plan, on peut potentiellement les ramener dans cette configuration. #### II] Forces parallèles et de même sens. >[!definition] >![[Pasted image 20231113084855.png]] >[!remarque] >Afin de trouver le point d'application, on va utiliser le __barycentre__. Mais rappel: La somme des forces intérieures et extérieures ## Frottement statique >[!definition] >Lorsqu'un objet est immobile par rapport à une surface grâce à un frottement, alors la surface applique __une force de frottement statique__. >Cette force __s'oppose aux autres forces__ extérieures de telle sorte que: (en sachant que le frottement est perpendiculaire au plan tengeant du point de contact). >$\sum\vec{F_{i}}+\vec{f}_{s}=\vec{0}$ >![[Pasted image 20231113085440.png]] >![[cm 2 - mécanique statique 2023-11-20 08.08.35.excalidraw.svg]] Ainsi, pour que le solide soit en équilibre, il faut prendre en compte les frottement. Le rôle du frottement statique est de "bloquer" les autres forces. Elle est dans le plan tangeant au point de contact. Les autres forces tendant à provoquer un mouvement parallèle à la surface de contact jusqu'à une valeur limite $f_{s(max)}$: $0<f_{s}\leq f_{s(max)}$ où $f_{s(max)}=\mu_{s}n$ avec: - $\mu_{s}$ le coefficient de frottement statique (sans dimension) - $n$ la norme de la réaction normale. $ \begin{align*}\\ \sum\vec{F_{i}}+\vec{f}_{s}\\ n-mg \cos \theta &= m a \\ n - mg \cos \theta &= 0 &\text{ (cas particulier a=0)} \\ n &= mg \cos \theta \end{align*} $ >[!warning] >On doit savoir projeter n'importe quel force dans n'importe quel référenciel. On a également: $\begin{align*} f_{s} - mg \sin \theta &= ma_{x} \\ f_{s(max)} - mg \sin \theta &= 0 \\ \mu_{s} n &= mg \sin (\theta)\\ \mu _{s} &= \frac{mg \sin (\theta)}{n} \end{align*} $ ----- Selon le module et l'orientation des autres forces extérieures appliquées sur l'objet, la force de frottement statique sera dans le sens opposé et son module $f_{s}$ satisfait le critère suivant: - $0 < f_{s} < \mu_{s} n$ ## Potentielle ### Gravité >[!definition] >$\vec{P} = M \vec{g}$ >[!remarque] >toutes les forces n'admettent pas toujours des énergies potentielles >Et si il y en a une, la variation de l'énergie potentielle, ça s'appelle le travail élémentaire (?) Il y a les forces gravitationnelles ou élastique qui admettent une énergie potentielle. La gravité peut être vue comme une force avec pleins de point $d$ ayant un poid $d \vec{p}$ qui sont toutes __parallèles__ et de __même sens__. $ \text{resultante} = \int d\vec{p} \, $ >[!remarque] >Donc le point d'application est le barycentre des forces. >[!definition] > Certaines forces admettent une énergie potentielle, pour l'instant __on l'admet__. > Ici, voici l'énergie potentielle de la gravité: >$E_{p} = M\times g \times z + c$ >Avec $c$ une constante. >On dira que le travail élémentaire serra: >$d w = \vec{p} . d \vec{l} = - d E_{p}$ >__note__: C'est comme cela que l'on peut trouver l'expression de l'énergie potentielle. >Donc, plus le centre de gravité est loin, élevé, et plus l'énergie potentielle est importante. >On paramétrera le système avec l'axe $z$ qui est colinéaire à $\vec{p}$ Si une force n'est pas un travail conservatif si l'on ne peut pas intégrer, (différentielle non exacte). Quand le travail est moteur, le travail de l'énergie potentiel est négatif. ### Élastique >[!definition ] >Ayant la formule de la force d'un ressort: > $\begin{align*} \vec{X} &= -k \, \vec{OP}\\ \vec{OP} &= x \end{align*}$ > ![[Pasted image 20231120083451.png]] > Donc, l'énergie potentielle est: > $E_{p} = \frac{1}{2}kx^{2}+C$ #### Force élastique rotation / moment >[!definition] >Lorsque l'on fait tourner un cable, si on le fait tourner d'un angle $\theta$, on aura une infinité de force qui ajoutés sont nulles. Mais elles sont définies par leur moment résultant on a un système résultant est un couple. >On aura des forces qui dérives de potentielles. >![[Pasted image 20231120083742.png]] >Son énergie potentielle est: $\frac{1}{2}C \theta^{2}+c$ ## Positions d'équilibres d'un point matériel ou d'un solide. >[!definition] >__Pour un point matériel__: >D'après la loi de newton. >$\sum_{i} \vec{F_{i}} = m \vec{a}$ >Or ayant $\vec{ a}=0$, donc on aura la $\sum_{i} \vec{F_{i}}=\vec{0}$ > __Solide ou système__: PFS/PFD > $\begin{align*} \vec{R} &= \vec{0}\\ \vec{\Gamma_{p}}&= \vec{0} \end{align*}$ > >__L'équilibre est un extrémum d'énergie potentielle__, ainsi, la dérivée de l'énergie potentielle est __nulle__. >Et donc, on a le maximum de l'énergie potentielle, et le minimum de la __dérivée__ de l'énergie potentielle (car la dérivée seconde est supérieure à 0). Si la dérivée seconde est inférieure à 0 la position serra dite __instable__. >[!definition] >__Equilibre stable__: Un équilibre est stable si lorsqu’on écarte légèrement (le point ou le système) de la position d’équilibre il revient à cette position. Pour une rotation élémentaire du solide le moment résultant est un moment de rappel. ![[Pasted image 20231120084728.png]] ![[cm 2 - mécanique statique 2023-11-20 08.47.34.excalidraw.svg]] Pour une translation élémentaire d'un solide, on appelle une force de rappel. >[!definition] >__Équilibre instable__: >![[Pasted image 20231120085029.png]] ![[cm 2 - mécanique statique 2023-11-20 08.48.37.excalidraw.svg]] >[!rappel] >$\vec{P}+\vec{T}+\vec{N} = \vec{ R}$ Ainsi, on verra le produit du moment par rapport au déplacement, et il devra être négatif, donc le moment est en sens inverse et ce serra un moment de rappel.