#cours ## Préface >[!definition] >__Cinématique__: étude des mouvements indépendamment des causes # Repères et référentiels ## Localisation d'un point dans l'espace - Soit une base orthonormée directe BOD $(\vec{e_{x}}, \vec{e_{y}}, \vec{e_{z}})$. - Soit un point $O$, fixe par rapport à l'observateur. - $BOD$+$O$ définit un repère: ROD $(0,\vec{e_{x}}, \vec{e_{y}}, \vec{e_{z}})$. Tout point matériel $M$, ou un point $M$ d'un solide est repéré par ses coordonnées $X_1$ $X_{2}$ $X_{3}$ (parce que bien sur, on aurait pu utiliser x,y,z mais utiliser qu'une seule lettre c'est plus fun). ----- On aura donc: #### Polaire ![[cm 3 - mécanique cinématique 2023-11-27 08.11.18.excalidraw.svg]] On aura: $ \begin{cases} x = \rho \cos \Phi \\ y = \rho \sin \Phi \end{cases} $ ---- #### Cylindrique ![[cm 3 - mécanique cinématique 2023-11-27 08.13.47.excalidraw.svg]] ---- #### Sphérique [CF POLI] --- On sait que le repère $\neq$ référentiel. Pour définir un mouvement il est nécessaire de disposer d'éléments de __localisation géométrique__ auxquels s'ajoutent des élément de __chronologie__ (temps). Généralement, repère et référentiel sont attachés à: - Repère: position/localisation - Référentiel: ensemble des coordonnées espaces+temps On dit qu'un mouvement est dans un repère par rapport à un référentiel ------ # Mouvement d'un point dans un référentiel >[!definition] ![[Pasted image 20231127081731.png]] > - À l'instant $t : M(x,y,z)$ > - À l'instant $t+dt : M'(x+dx,y+dy,z+dz)$. > __Note: on assume que l'on se déplace dans un sens positif__. > On aura: > $ds(t)=\sqrt{ dx(t)^{2}+dy(t)^{2}+dz(t)^{2} }$ > De plus: > $ds(t)=\sqrt{ (\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}+(\frac{dz}{dt})^{2} }dt$ > Et: > $ s(t)= \int^{t}_{t_{0}} ds(t) dt = \int^{t}_{t_{0}}\sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^{2}+\left( \frac{dy}{dt} \right)^{2}+\left( \frac{dz}{dt} \right)^{2} }dt$ > On aura __s__ l'__abscisse curviligne__. Et $s(t)$ l'__équation horaire__ du mouvement. > On étudie alors la trajectoire. >[!remarque] Finalement on représente un mouvement sous forme d'une fonction. Avec la position représentée avec $M$ et $M'$. On aura la __vitesse du point $M$ par rapport au référentiel__: $\vec{V}\left( \frac{M}{\mathcal{R}} \right)=\frac{d \vec{OM}}{dt}|_{\mathcal{R}}$ ![[cm 3 - mécanique cinématique 2023-11-27 08.25.25.excalidraw.svg]] On aura donc: $ \text{fixes:}\begin{cases} \vec{e_{x}} \\ \vec{e_{y}} \\ \vec{e_{z}} \end{cases} $ $ \vec{OM} = x(t)\vec{e_{x}}+y(t)\vec{e_{y}}+z(t)\vec{e_{z}} $ >[!warning] Mais ils ne seront pas toujours fixes,__le référentiel à la possibilité d'être en mouvement__, alors la dérivée du point devra prendre en compte le mouvement du repère. > De plus, on peut étudier dans n'importe quel base. >[!remarque] >Les normes des vecteurs ne sont __pas dépendant à la base__. >Donc, si on veut la vitesse d'une voiture, elle serra la même qu'importe la base. ---- >[!problem] >Utilisations des différents systèmes de coordonnées pour représenter les vecteurs: >$\vec{OM} \,\, \vec{V}$ >[!remarque] >Même avec l'avance que l'on a avec STURM, apparemment on est en retard. ----- #### Accélération >[!rappel] >- $P(t):$ position >- $P'(t):$ vitesse >- $P''(t):$ accélération On aura donc: $ \vec{a}\left( \frac{M}{\mathcal{R}} \right) = \frac{d}{dt}\vec{V}|_{\mathcal{R}} = \frac{d^{2}}{dt^{2}}\vec{OM}|_{\mathcal{R}} $ >[!remarque] >On note: '$\text{M}|_{\mathcal{R}} pour dire que 'M' est dans le référentiel $|_{\mathcal{R}}$. On n'est pas obligé de le noter # Repère de Frenet ## Tangente et normale à une courbe >[!rappel] >$\vec{V} = \frac{d }{dt}\vec{OM}$ >[!remarque] >Je définis la fonction: >$\text{normalize}(\vec{u})= \frac{\vec{u}}{\lvert \vec{u} \rvert }$ >Car flemme >[!definition] >![[Pasted image 20231127083841.png]] > Le vecteur unitaire $\vec{T}$ tangent à la courbe $(C)$ et est colinéaire à $\vec{V}$. > Donc, $T$ serra la version normalisée de la vitesse. > $\vec{T} = \frac{\vec{V}}{\mid\mid \vec{V}\mid\mid} = \frac{\frac{d}{dt}\vec{OM}}{\frac{d}{dt}s} = \frac{d}{ds} \vec{OM}$ > Le vecteur $\vec{N}$ serra le vecteur normal et perpendiculaire à $C$. > Et il est égal à la dérivée de $\vec{T}$ normalisée. Donc: > $\frac{d}{dt} (\vec{T} . \vec{T}) = 2\vec{T} . \frac{d}{dt} \vec{t} = \vec{0}$ > Donc: > $\vec{N} = \text{normalize}\left( \frac{d}{dt} \vec{T} \right)$ > >[!remarque] >Tout vecteur de norme 1 et que l'on dérive par rapport au temps seront perpendiculaire. >[!remarque] >C'est Égal à 0 dans la démonstration qui prouve que c'est égal à 0, I guess it's magic ✨ (note: on assume juste que $\vec{n}$ est perp à $\vec{T}$) ![[Pasted image 20231127085127.png]] La variation de $T$ serra donc une courbure: ![[Pasted image 20231127085253.png]] Avec: $ \vec{N}= R \cdot \frac{d}{ds} \vec{T} $ Où $\frac{1}{R}$ est la __courbure__. Donc: $R$ rayon courbure. >[!definition] Plan osculateur >![[Pasted image 20231127085600.png]] >On aura un plan défini par $(M, \vec{T}, \vec{N})$ ### Trièdre de frenet >[!definition] > > On aura donc un plan défini au point $M$ avec commes vecteurs les vecteurs $\vec{T},\vec{N}, \vec{B}$ où: > $\vec{B} = \vec{T} \times \vec{N}$ > Et donc: $P(M;\vec{T};\vec{N};\vec{B})$ ----- >[23-12-04] >[!seealso] >[[cm 3 bis - repérage coordonnées]] ---- ## Repères locaux ### Repère local scalaire >[!definition] >Repère local polaire Soit un plan polaire, $M(\phi,\rho)$, on va construire un repère locale, donc on fixe $\phi$, ou $\rho$, et on fait un petit déplacement __positif__ à partir du point $M$ (dérivée). Ensuite, on va fixer l'autre valeur (si on a commencé par $\phi$, on continue par $\rho$). Une fois que l'on dérive par $\phi$, on aura une différence d'angle, sauf que vue que cet angle tend vers 0 (car $\lim_{ d \phi \to 0 }$) on considère un vecteur. > ![[Pasted image 20231204082442.png]] De plus, si on représente $e_{\phi}(t)$ et $e_{\rho}(t)$, >[!remarque] >$\vec{OM}=\rho \vec{e_{\rho}}$ >[!remarque] >La prof écrit pas très bien $\phi$ et $\rho$, il y a moyen que j'ai mixé les deux on aura: $\vec{V}(M)|_{\mathcal{R}}=\frac{d}{dt} \vec{OM} = \frac{d}{dt}\vec{e}_{\phi}\rho + \rho\frac{d}{dt}\vec{e}_{\rho}$ Sachant que: $\frac{d \phi}{dt}$ représente la vitesse angulaire Cependant, si on a: $ \begin{align*} \vec{e_{\rho}} &= (\cos \phi) \vec{e_{x}} + (\sin \phi) \vec{e_{y}}\\ \vec{e_{\phi}} &= -(\sin \phi) \vec{e_{x}} + (\cos \phi) \vec{e_{y}} \end{align*} $ Cependant si $\phi$ varie en fonction du temps, on aura: $ \frac{d}{dt}\vec{e}_{\rho(t)} = \frac{d}{d \phi} e_{\rho} \times \frac{d \phi}{dt} $ Ainsi, on aura (là on est sur de l'écriture): $\begin{align*} \frac{d}{d \phi} \vec{e}_{\rho} = \frac{d \phi}{dt} \vec{e}_{\phi}\\ \frac{d}{dt } \vec{e}_{\phi} = \frac{d \phi}{dt} \vec{e}_{\rho}\\ \end{align*} $ Ainsi, la vitesse aura: $ \vec{V}(M)|_{\mathcal{R}} = \frac{d \rho}{dt}\vec{e}_{\rho} + \rho(t)\frac{d\phi}{dt} \vec{e}_{\phi} $ Avec ce qui est multiplié par $e_{\phi}$ est radial, et $e_{\phi}$, orthoradial. De plus, on pourra retrouver: $\vec{V} = R \omega(t) \vec{e_{\phi}}$. ---- >[!proposition] >Cas particulier du mouvement circulaire: Ainsi, on aura: > - $\vec{T}(t)$ dans la base locale, on aura alors $\vec{T}(t)=\vec{e_{\phi(t)}}$. > - et: $\vec{N}(t)=-\vec{e_{\rho(t)}}$ ![[cm 3 - mécanique cinématique 2023-12-04 08.41.50.excalidraw.svg]] ------ ### Repère local cylindrique >[!definition] >![[Pasted image 20231204084459.png]] >Ainsi, on remarquera que troisième vecteur, $\vec{e_{z}}$ est constant et est identique au $\vec{e_{z}}$ de la base. >De plus: >$\begin{align*} \vec{e_{\rho}} &= (\cos \phi) \vec{e_{x}} + (\sin \phi) \vec{e_{y}}\\ \vec{e_{\phi}} &= -(\sin \phi) \vec{e_{x}} + (\cos \phi) \vec{e_{y}}\\ \vec{e_{z}} \end{align*}$ Donc on aura: $\vec{OM}=\vec{e_{\rho}}(t)\rho(t)+z(t) \vec{e_{z}}$ Et la vitesse serra égale à: on aura: $\vec{V}(M)|_{\mathcal{R}}=\frac{d}{dt} \vec{OM} = \frac{d \rho}{dt}\vec{e}_{\rho} + \rho(t)\frac{d \phi}{dt}\vec{e}_{\phi} + \frac{dz}{dt} \vec{e_{z}}$ ### Repère local sphérique >[!definition] > On commence par prendre le plan de coupe avec $\phi$ constante: > ![[Pasted image 20231204085228.png]] > Ensuite, on aura: > ![[Pasted image 20231204085244.png]] > On aura donc: > $\begin{align*} \vec{e_{r}} &= \sin \theta \cos \phi \vec{e_{x}} + \sin \theta \sin \phi \vec{e_{y}} + \cos \theta \vec{e_{z}}\\ \vec{e_{\theta}} &= \cos \theta \cos \phi \vec{e_{x}} + \cos \theta \sin \phi \vec{e_{y}} - \sin \theta \vec{e_{z}}\\ \vec{e_{\phi}} &= -\sin \phi\vec{e_{x}} + \cos \phi \vec{e_{y}}\\ \end{align*}$ Ensuite, à partir du dessin si on arrive à projeter les vecteurs, la solution c'est de retravailler (best conseils de l'année). Il faut savoir les retrouver ---- ## Mouvement simple d'un point ### Mouvement rectiligne ![[Pasted image 20231204085617.png]] #### Mouvement rectiligne uniformément accéléré On aura donc: $\begin{align*} a &= \frac{dV}{dt} = C &\implies V &= at + V_{0}\\ V &= \frac{dx}{dt} = at+V_{0} &\implies x &= \frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_{0} \end{align*} $ Remarque, $t=t_{0}=0$, $x=x_{0}$ et $V=V_{0}$ qui sont les conditions initiales. #### Mouvement rectiligne uniforme $ \begin{align*} V = C = V_{0} \implies \vec{a} &= \vec{0} \end{align*} $ Donc, $x = V_{0}t + x_{0}$ ---- #### Mouvement circulaire >[!remarque] >De manière logique, on utilise le plan sphérique >[!definition] >![[Pasted image 20231211080751.png]] >$\vec{OM} = R \vec{e_{p}}$. >On va donc dériver la position par rapport au temps, avec $\phi=\phi(t)$. > >[!remarque] >Lorsque je dérive le vecteur radial, on n'a pas besoins de re-démontrer, >$\frac{d}{dt} \vec{e_{\rho}}= \frac{d\phi}{dt} \cdot \vec{e_{\phi}}$ >$\frac{d}{dt} \vec{e_{\phi}}= - \frac{d\phi}{dt} \vec{e_{\rho}}$ Ainsi, on aura: $\begin{align*} \vec{V}(M/\mathcal{R})&=\frac{d\vec{OM}}{dt}\mid_{\mathcal{R}}\\ &= R\frac{d\vec{e_{\rho}}}{dt}\mid_{\mathcal{R}}\\ &= R\frac{d \phi}{dt}\vec{e_{\phi}}\mid_{\mathcal{R}}\\ &= R \omega(t) \vec{e_{\phi(t)}} \end{align*} $ Donc, $\omega(t)$ est la vitesse angulaire en radiant par seconde. Ainsi, l'accélération serra la dérivée du vecteur vitesse. $ \begin{align*} \vec{a}(M {/}\mathcal{R})&=\frac{d \vec{V}}{dt}\mid_{\mathcal{R}}\\ &= -R \omega^{2} \vec{e_{\rho}}+R \frac{d \omega}{dt} \mid_{\mathcal{R}} \vec{e_{\phi}} \end{align*} $ ## Le vecteur rotation $\vec{\omega}$ >[!problem] >- Trouver $\vec{V}=\vec{\omega} \times \vec{OM}$ >- Trouver la direction du vecteur rotation $\vec{\omega}$ >- Quels sont ici les vecteurs $\vec{T}$ et $\vec{N}$ du trièdre de Frenet. On devra avec le produit vectoriel que $\vec{V} = \vec{\omega } \times \vec{OM}$ ## Changement de référentiels >[!remarque] >Pas de composition d'accélération, seulement de vitesse On va premièrement prendre un référentiel fixe (un quai), puis prendre utiliser potentiellement un référentiel relatif (un train). ### Composition des vitesses >[!definition] >$\text{absolue}=\text{relative}+\text{entrainement}$ >[!exemple] >![[Pasted image 20231211082532.png]] >On a le personnage bleu, sur un disque. Il ne bouge pas sur le disque. Mais le disque s'élève de manière constante (translation rectiligne verticale). >De plus, sur le disque, on va prendre une particule rouge sur un rail qui aura un mouvement circulaire. >On utilisera donc __3__ référentiels: >- $\mathcal{R}_{0}(O, \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}})$, le repère absolu du personnage. >- $\mathcal{R}_{1}(C, \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}})$, le repère mobile lié au disque. >- $\mathcal{R}_{2}(P, \vec{e_{\rho}}, \vec{e_{\phi}}, \vec{e_{3}})$, le repère mobile lié à la particule; > > Ainsi: > - Le mouvement de $P$ par rapport $\mathcal{R}_{2}$ a un mouvement fixe > - Le mouvement de $P$ par rapport à $\mathcal{R}_{1}$ a un mouvement circulaire > - Le mouvement de $P$ par rapport à $\mathcal{R}_{0}$ a un mouvement hélicoïdal >[!remarque] >On utilise les même vecteurs pour les référentiels entre le disque et le personnage car on a juste un mouvement de translation. #### Calcul des vitesses 1. On aura la vitesse $P$ par rapport au référentiel $\mathcal{R}_{2}$ >$\vec{V}(P|\mathcal{R}_{2})= \vec{0}$ 2. Ensuite, on prend la vitesse de $P$ par rapport au référentiel lié au disque $D$: __vitesse relative__ Par définition: $ \vec{V}_{r} = \vec{V}(P|\mathcal{R_{1}})=\frac{d \vec{CP}}{dt}\mid_{\mathcal{R_{1}}} $ ici, $\vec{V_{r}}=\frac{d}{dt}|_{\mathcal{R_{1}}} (R \vec{e_{\rho}}(t))$ 3. Ensuite on va faire la vitesse de $P$ par rapport au référentiel absolu __lié au sol__: __vitesse absolue__. Par définition: $ \vec{V_{a}} = \vec{V}(P|\mathcal{R_{0}}) = \frac{d}{dt}|_{\mathcal{R_{0}}}=\vec{V_{r}}+\vec{V_{e}} $ ![[Pasted image 20231211084016.png]] 4. Vitesse __d'entrainement__ C'est la vitesse d'un point $M$ sur le disque qui coincide avec le point $P$. La particule si on la bloque sur le disque, quel est sa vitesse. Parr définition $\vec{V}(M \in \mathcal{R_{1}} \equiv P)|_{\mathcal{R_{0}}}$. $M$ coïncide à l'instant $t$ avec $P$. ![[Pasted image 20231211084208.png]] Ainsi dans cet exemple, on aura la composition d'un mouvement circulaire, et d'un mouvement de translation, ce qui donnera un mouvement hélicoïdale. ## Mouvement simple d'un solide indéformable ### Mouvement d'un solide indéformable par rapport à un référentiel ![[cm 3 - mécanique cinématique 2023-12-11 08.43.45.excalidraw.svg]] ![[Pasted image 20231211084725.png]] ![[Pasted image 20231211084735.png]] --- >[!warning] >Tout les points du solide $(D)$ n'ont pas la même vitesse par rapport au référentiel absolu $\mathcal{R_{0}}$. >$V(M|\mathcal{R_{0}}) \neq V(P|\mathcal{R_{0}})$ > ![[Pasted image 20231211084857.png]] ![[Pasted image 20231211084914.png]] ### Translation rectiligne >[!remarque] >Vue que l'on a un solide indéformable, la distance entre deux points reste constante au fil du temps. >[!definition] >Évolution d'un vecteur entre deux points au fil du temps >![[Pasted image 20231211085035.png]] On étudie le mouvement par rapport au __référentiel__ absolu $\mathcal{R_{0}}$ de la boîte $(S)$ fixée sur un chariot qui roule sur des rails. ![[Pasted image 20231211085205.png]] ### Translation circulaire On étudie le mouvement de la nacelle $(S)$ fixée sur la grande roue par rapport au __référentiel__ $\mathcal{R_{0}}$. ![[Pasted image 20231211085253.png]] ![[Pasted image 20231211085400.png]] ### Translation curviligne ![[Pasted image 20231211085446.png]] ## Rotation par rapport à un axe fixe ${\Delta}$ Un solide est animé d'un mouvement de rotation si la transformation géométrique qui fait correspondre la position du solide à tout instant $t$ à la position du solide à tout instant $t_{0}$ est une rotation. Ils auront tous la même vitesse angulaire $\omega$. ![[Pasted image 20231211085716.png]]