# Rappels (vecteur & points ; base & repère ) > Lire: la première section pour les définitions des termes # Produit scalaires >[!definition] Définition produit scalaire de deux vecteurs >On appelle **produit scalaire** $arrow(u)$ et $arrow(v)$ de l'espace, le réel $arrow(u) dot arrow(v)$ défini comme suit : >$arrow(u) dot arrow(v) =^"def" cases(||arrow(u)|| * ||arrow(v)|| * cos(angle(arrow(u).arrow(v))) "si " arrow(u) "et" arrow(v) "sont non nuls", 0 "sinon")$ >[!warning] >Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Il peut être positif, négatif, ou nul ! >[!exemple] > Cf poli >[!propriété] >Soient $arrow(u)$ et $arrow(v)$ des vecteurs de l'espace. on a l'équivalence: >- $arrow(u) dot arrow(v) <=>$ sont orthogonaux. >[!propriété] >Pour tous vecteurs $arrow(u)$, $arrow(v)$ et $arrow(w)$ de l'espace de tous réels $alpha, beta$: >- $arrow(u) dot arrow(u) >= 0$ car: $arrow(u) dot arrow(u) = ||arrow(u)||^2$. On a également: $arrow(u) dot arrow(u) <=> arrow(u) = arrow(0)$ >- $arrow(u) dot arrow(v) = arrow(v) dot arrow(u)$ : syymétrie >- $(alpha arrow(u) + beta(arrow(v))) dot arrow(w) = alpha arrow(u) dot arrow(w) + beta arrow(v) dot arrow(w))$ linéarité à gauche; >- [cf poli] En ce sens on dit que le produit scalaire est une forme **bilinéaire (car linéarité a gauche + droite), symétrique et définie positive** [cf poli] ----- Si $D$ est une droite dirigée par $arrow(v) != arrow(0)$, alors le projeté orthogonal d'un vecteur $arrow(u)$ sur $D$ est le vecteur quot;proj"^perp_arrow(v)(arrow(u))$ d'expression: $"proj"^perp_arrow(v)(arrow(u)) = (arrow(u) dot arrow(v))/(||arrow(v)||^2) arrow(v)$ ![[1 cm 1 - les vecteurs 2023-09-20 07.20.27.excalidraw.svg]] Si $arrow(v)$ est unitaire, alors quot;Proj" = (arrow(u) dot arrow(v)) arrow(v)$ >[!remarque] >Un vecteur unitaire est un vecteur de longueur 1 ---- >[!remarque] >Lorsque l'on note: $arrow(u) = u_x arrow(e)_x + u_y arrow(e)_y + u_z arrow(e)_z$ avec $(u_x, u_y, u_z) in RR^3$ on a: >$u_x = arrow(u) dot arrow(e_x)$. Ainsi, cela revient à une projection, du vecteur $arrow(u)$ sur l'axe $e_x$. De même pour les autres axes. ### Produit scalaire dans une base orthonormale >[!definition] Autre définition du produit scalaire >Soit $B$ une base orthonormale (vecteur unitaire, et orthogonaux entre-eux) et soient $arrow(u)(x,y,z) arrow(v)(x',y',z')$ dans $B$, alors: >$arrow(u) dot arrow(v) = x * x' + y * y' + z * z'$. >[!warning ] >Cette définition ne fonctionne seulement dans une base orthonormale; # Produit vectoriel >[!definition] >Un **produit vectoriel** de deux vecteurs $arrow(u) dot arrow(v)$ **non colinéaires**, de l'espace est l'unique vecteur de l'espace noté $arrow(u) \^ arrow(v)$ ou encore $arrow(u) x arrow(v)$ : anglo6saxonne #todo: utiliser les bons caractère. Tel que: >1. $arrow(u) \^ arrow(v) perp arrow(u)$ et $arrow(u) \^ arrow(v) perp arrow(v)$ >2. La famille $(arrow(u), arrow(v), arrow(u) \^ arrow(v)).$ Forme une base **direct** (règle de la main droite).![[1 cm 1 - les vecteurs 2023-09-20 07.32.51.excalidraw.svg]] >3. $||arrow(u)\^ arrow(v)|| =^"def" ||arrow(u)|| * ||arrow(v)|| * |sin(angle(arrow(u), arrow(v)))| > 0$ >Si $arrow(u)$ et $arrow(v)$ sont **colinéaires** alors $arrow(u) \^ arrow(v) =^"def" arrow(0)$ >[!warning] >Le produit vectoriel de 2 vecteurs n'est pas un scalaire mais un vecteur. il peut être égal au vecteur nul; ![[1 cm 1 - les vecteurs 2023-09-20 07.35.54.excalidraw.svg]] >[!remarque] >Le riplet (pouce index majeur) définit l'orientation usuelle de l'espace. Par définition, si $arrow(u)$ et $arrow(v)$ sont non colinéaires. Alors la famille $(arrow(u), arrow(v), arrow(u)\^arrow(v))$ est une base **directe**. >[!warning] >Si $arrow(u)$ $arrow(v)$ sont non colinéaires, alors la base est directe (par définition), certes, mais **elle n'est pas obligatoirement orthogonale** car on n'a pas obligatoirement $arrow(u) perp arrow(v)$. D'ailleurs, les vecteurs $arrow(u)$, $arrow(v)$ et $arrow(u) \^ arrow(v)$ ne sont pas nécessairement unitaires; En revanche, si on a $arrow(u) perp arrow(v)$ et les deux vecteurs comme unitaire, alors la base serra orthogonale. ---- >[!definition] Produit vectoriel et vecteurs colinéaires. (caractérisation) >Soient $arrow(u)$ et $arrow(v)$ des vecteurs de l'espace. On a l'équivalence: >$arrow(u) \^ arrow(v) = arrow(0) <==> arrow(u) "et "arrow(v)"sont colinéaires"$ > >[!propriété] >1. $arrow(0) \^ arrow(u) = arrow(u) \^arrow(0) = arrow(0)$ pour tout vecteur $arrow(u)$ de l'espace. >2. $arrow(u) \^ arrow(u) = arrow(0)$ >3. Pour tous vecteurs $arrow(u), arrow(v), arrow(w)$ de l'espace et tous réels $alpha$ , $beta$:$cases( > arrow(u)\^arrow(v) = - (arrow(v) \^arrow(u)), > (alpha arrow(u) + beta(arrow(v)) \^arrow(w) = ...))$ > [CF POLI] >[!proposition] >Soient $arrow(u), arrow(v), arrow(w)$ des vecteurs de l'espaces. On a alors: $(arrow(u) \^ arrow(v)) dot arrow(w) = arrow(0) <=> "ils sont coplanaires"$ >[!remarque] >**Coplanaires** (3 vecteurs): l'un est une combinaison l'inéaire des deux autres (ils sont dans le même plan.) ---- ### Calcul du produit vectoriel à partir des coordonées >[!definition] Produit vectoriel dans une base orthonormée directe; >Soient $arrow(u) (x,y,z)$ et $arrow(v) (x',y',z')$, alors le vecteur $arrow(u) \^ arrow(v)$ a pour composante $(x'', y'', z'')$: >$cases(x'' = y z' - z y' =^"not" mat((y, y'), (z, z')), y'' = z x' - x z' =^"not" mat((...))))$ (cf poli) pou rle reste >[!remarque] On peut utilisé une methode plus intelligente : >$vec(x,y,z) \^vec(x', y', z')$ ![[1 cm 1 - les vecteurs 2023-09-20 07.53.17.excalidraw.svg]] (cf poli) >[!exemple] >cf poli # Barycentre