## Calcul de l'aire d'un parallèlogramme et d'un triangle >[!proposition] >Si $O,A,B$ désignent trois point de l'espace $E_{3}$ alors: >- L'aire du parallélogramme porté par les deux vecteur $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$ est égale à: $\mid\mid{\vec{ OA} * \vec{OB}}\mid\mid$ #todo [CF POLI] >[!exemple] >Soient $O,A,B$ trois points de l'espace $E_{3}$. Ils appartiennent nécessairement à un même plan $P$. >- Soit $B'$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$. >- Soit $C \in P$ tel que $OACB$ soit un parallèlogramme. >![[1 cm 2 - aire qui manque pas d'air 2023-09-27 09.15.51.excalidraw.svg]] >Ainsi, notons $A =$ base * hauteur l'aire du prallélogramme OACB. Quelle est elle ? >- La base est $\vec{OA}$ >- La hauteur est $\vec{B'B}$ >- [CF POLI] #todo 3.4 # Barycentre de deux points pondérés ![[1 cm 2 - suite vecteur 2023-09-27 09.21.31.excalidraw.svg]] >[!definition] >Soient $A,B$ deux points de l'espace $E_{3}$ et $a,b$ deux réels tels que $a+b \neq 0$. On appelle __barycentre__ des deux points pondérés $(A,a)$ et $(B,b)$ l'unique point $G \in E_{3}$ tel que: $a \vec{GA}+b \vec{GB}=\vec{0}$ >Lorsque $a=b$, on parle d'__isobarycentre__. #### Existence et unicité du barycentre ? Oui, il existe car on a: $ \begin{align*} a \vec{GA} + b \vec{GB} &\leftrightarrow a \vec{GA} + b(\vec{GA}+\vec{AB}) = \vec{0}\\ &\leftrightarrow (a+b)\vec{GA} + b(\vec{AB}) = \vec{0}\\ &\leftrightarrow \vec{AG} = \frac{b}{a+b}\vec{AB}\\ \end{align*} $ Cette relation définit bien le barycentre de manière unique. Elle montre aussi que le barycentre est situé sur la droite $(AB)$. >[!exemple] >Exemples de barycentres: >![[1 cm 2 - suite vecteur 2023-09-27 09.27.46.excalidraw.svg]] ![[1 cm 2 - suite vecteur 2023-09-27 09.28.45.excalidraw.svg]]![[1 cm 2 - suite vecteur 2023-09-27 09.30.09.excalidraw.svg]] ----- >[!proposition] >Tout point appartenant à la droite $(AB)$ peut s'interpréter comme un barycentre des deux points $A$ et $B$. Il faut alors faire le calcul à l'envers pour trouver leur poids. > __Vérification__ - Soit $M \in (AB) : \vec{AB} = t \vec{AB}$ avec $t \in \mathbb{R}$. On a: $\vec{ AM} = t \vec{ AB} \leftrightarrow \vec{AB} = t (\vec{ AM} + \vec{ MB}) \leftrightarrow \ \vec{ 0} = (1-t) \vec{ MA}+t\vec{MB}$ Cette relation montr que le point $M$ est le barycentre des deux points $(A,a)$ et $(B,b)$ où $a = 1-t \in \mathbb{R}$ et $b = t \mathbb{R}$ >[!proposition] >Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A,a)$ et $(B,b)$ Alors: >$\forall M \in E_{3} \space \vec{MG} = \frac{a}{a+b} \vec{MA} + \frac{b}{a+b} \vec{MB} $ __Vérification__: Soit $M \in E_{3}$. On a: [CF POLI] >[!proposition] >Soit $R = (O; \vec{ e_{x}}, \vec{ e_{y}}, \vec{e_{z}})$ un $ROD$ de l'espace $E_{3}$. Si les points A et B ont pour coordonnées $x_{a}, y_{a}, z_{a}$ et $x_{b}, y_{b}, z_{b}$ dans $R$. >Alors dans ce même repère, le barycentre $G$ des points pondérés $(A,a)$ et $(B,b)$ a pour coordonnées $(x_{G} , y_{G}, z_{G})$. où: >$x_{G} = \frac{ax_{a}+bx_{b}}{a+b} y_{G} = (ax_{a}+bx_{b}\dots)$ >[CF POLI] #todo # Barycentre de plusieurs points >[!definition] >![[1 cm 2 - suite vecteur 2023-09-27 09.41.16.excalidraw.svg]] >Soient $A_{1},A_{2},\dots,A_{n}$ des points de l'espace $E_{3}$ et $a_{1},a_{2},\dots,a_{n}$ des réels qtels que $a_{1},a_{2},\dots,a_{n } \neq 0$. On appelle __barycentre__ des $n$ points pondérés $(A_1, a_1), (A_2, a_2), ... (A_n, a_n)$ l''unique point $G \in e_3$ tel que: [CF POLI] #todo Soit $G$ le barycentre des points pondérés... [CF POLI] #todo >[!exemple] >![[1 cm 2 - suite vecteur 2023-09-27 09.46.26.excalidraw.svg]] >$a \vec{GA} + b \vec{GB} + c \vec{GC} = \vec{0}$. >On va alors faire le premier barycentre entre $a$ et $b$, ensuite ce barycentre avec $C$. >Notons $H$ le barycentre $(A,a)$ $(B,b)$ $a \vec{HA} + b \vec{HB} = \vec{0}$. >Donc on a pour $G$: > $\begin{align*} a \vec{GA}+b \vec{GB}+c \vec{GC}&= \vec{ 0}\\ \leftrightarrow a(\vec{GA} + \vec{HA})+b(\vec{GH}\vec{HB}) + C\vec{GC} &= \vec{ 0}\\ \dots \\ (a+b)\vec{ GH} + c \vec{GC} &= \vec{ 0} \end{align*}$ >[!remarque] >![[1 cm 2 - suite vecteur 2023-09-27 09.53.21.excalidraw.svg]] >Le $H$ ici, on peut l'appeler comme un __barycentre__ partiel. [CF POLI] il faut faire l a fin comme un grand