# Les Complexes # Corps des nombres complexes >[!definition] >Soit un nombre complexe $z$ est un nombre de la forme $z = a + ib$ où $a$ et $b$ sont des réels et le nombre $i$ (appelé __unité imaginaire__) possède la propriété suivante: $i^{2}=-1$ . >- Le réel $a$ est la __partie réelle__ de $z$. On la note: $\mathrm{Re}(z)$ >- Le réel $b$ est la __partie imaginaire__ $z$. On la note $\mathrm{Im}(z)$ >La forme $a+ib$ est alors appellée forme algébrique de $z$. On dit aussi écriture __cartésienne__ de $z$. On note $\mathbb{C}$. [CF POLI] #todo >[!remarque] >En physique on peut noter $i$ = $j$ ## Opérations des nombres complexes: Soit : $z = a+ib$ et $z' = a'+ib'$ ### Addition - $z+z' = (a+a')+i(b+b')$ ### Multiplication - $z * z' = (aa'-bb')+i(ab'+ba')$ >[!remarque] >Il est inutile de l'apprendre par <3, car on peut juste développer à la mano. ### Inverse et quotient Pour écrire un complexe: $\frac{1}{z}$, sous forme algébrique, on multiplie en haut et en bas par le $\overline{z}$: $ \begin{align*} \frac{1}{a+ib} &= \frac{a-ib}{(a+ib)*(a-ib)} \\ &= \frac{a-ib}{a^{2}+b^{2}}\\ &= \frac{a}{a^{2}+b^{2}} - i \frac{b}{a^{2}+b^{2}} \end{align*} $ Donc, on a: $\frac{z}{z'}$ $ \frac{z}{z'} = \frac{z \overline{z'}}{\overline{z'}z'} $ --- ### Puissance d'un nombre complexe Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, on aura: $z^{n}=z*z*z*z\dots$. Par convention $z^{0}=1$ ### Symboles $\sum$ et $\prod$ La même chose que pour les réels. ### Conjugaison >[!definition] >Soit $z = a+ib$ on aura: $\overline{z} = a - ib$ >[!proprietes] >- $\overline{\overline{z}}=z$ >- $\overline{z}z=a^{2}+b^2$ >- $\overline{z} + \overline{z'}= \overline{z+z'}$ (même chose pour les soustraction, multiplication et division) >- $\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}$ >- $\mathrm{Im}(z)= \frac{z+\overline{z}}{2i}$ >- $z= \overline{z}$ <=> z est réel ## Formule du binôme de Newton La formule du binôme de newton fonctionne dans les ensembles qui ont un anneau, #binom newton $ (z+z')^{n}=\sum^{n}_{k=0}(z^{k}z'^{k-n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}) $ ## Formule de de moivre >[!definition] >Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ on a: >$[\cos(\theta) + i \sin(\theta)]^{n}=\cos(n \theta)+ i \sin(n \theta)$ $ \sum^{n-1}_{k=0} z^{k}= \begin{cases} \dfrac{1-z^{n}}{1-z} & \text{Si } z \neq 1\\ n & \text{Sinon} \end{cases} $ # Module et argument d'un nombre complexe > voir poly ou cours de math experte de terminale #### Argument Soit le module: $z = a+ib = |z|\left( \frac{a}{|z|} + i\frac{b}{|z|} \right)$ {CF POLI} >Pour trouver l'argument il faut débattre; - $arg(z*z')=arg(z)+arg(z') [2\pi]$ revoir la feuille $ z = |z| * [\cos Arg(Z) + i\sin Arg(z)] $ ----- >[!warning] > On rappelle que $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ > Et il faut retenir que c'est une notation plus rapide et que les deux sont équivalents. >[!rappel] >$\begin{align*} |e^{i\theta}| &= 1\\ Arg(e^{i\theta}) &\equiv \theta [2 \pi] \end{align*}$ >[!preuve] >De plus: $e^{ia}*e^{ib}=e^{i(a+b)}$ >$ \begin{align*} e^{ia}*e^{ib} &= (\cos a + i \sin a)(\cos b + i \sin b)\\ &= \cos a \cos b - \sin a \sin b + i (\sin a \cos b + \sin b \cos a)\\ &= e^{i(a+b)} \end{align*} $ >[!warning] >On ne peut pas justifier la preuve précédente en disant: $e^{a}*e^{b}=e^{a+b}$, car cette définition est vraie seulement pour $a$ et $b$ des $\mathbb{R}$, ainsi si on nous demande de justifier, on doit passer par les formules trigonométriques. Également: $ (e^{i \theta})^{-1} = (\cos + i \sin \theta) ^{-1} = \cos \theta - i \sin \theta = \cos - \theta + i \sin (-\theta)=e^{-i\theta} $ ### Formules Euler >[!definition] >$\cos \theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta }}{2}$ >$\sin \theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta }}{2i}$ >[!exemple] >On peut l'utiliser pour faire de la magie: >$\begin{align*} \cos^{4} (\theta)&= \frac{e^{i\theta} + e^{- i \theta} }{2}^{4} \\ &= \frac{1}{16}\sum^{4}_{k=0} \begin{pmatrix}4\\ k \end{pmatrix} e^{i \theta } * e^{-i \theta} \\&= \frac{1}{16}\sum^{4}_{k=0} \begin{pmatrix}4\\ k \end{pmatrix} e^{i 4-k } * e^{-i k} \\ &= \frac{1}{16} \sum^{4}_{k=0} \begin{pmatrix}4\\ k \end{pmatrix} e^{i (4 - 2k) \theta }\\ &= \frac{1}{16} [e^{-i4 \theta}+e^{-i_{2} \theta}+6+e^{i_{2} \theta}+e^{i4 \theta}]\\ \end{align*} $ CF POLI >[!remarque] >$-3-4i=1-4-4i=1^{2}+2i^{2}-2*2i*1=(1-2i)^2$ ## Racine carré d'un nombre complexe # Résolution d'équations du second degré dans $\mathbb{C}$. # Annexe (il faut pas regarder si on est "surchargé psychologiquement")