>[!remarque] >CF NOTE TABLETTE ### Qu'est ce qu'un ouvert de $\mathbb{R}^{m}$ >[!definition] >__Ouvert__: en pratique les fonctions considérées $f : R^{m} \to R$ seront des fonctions définies non pas sur $R^{m}$ tout entier mais sur $U \inc \mathbb{R}^{m}$ avec $U$ un ouvert de $R^{m}$. Mais qu'est ce que cela signifie-t-il ? >[!rappel] >$\mid\mid \mathbf{a}\mid\mid = \sqrt{a^{2}_{x}+a^{2}_{y}\dots}$ >[!definition] >Soit $m \in \mathbb{N}^{*}$. On appelle __boule ouverte__ de cente $a_{0} \in \mathbb{R}^{m}$ et de rayon $R>0$ l'ensemble noté $\mathcal{B}(a_{0};R)$ ... défini par (tu connais la définitions d'une boule, cf truc pathtracing) >Un sous-ensemble $U$ de $\mathbb{R}^m$ est dit __ouvert__ si, pour tout $a_{0} \in U$, il existe une boule ouverte de centre $a_{0}$ contenue dans $U$. >[!defintion] Fonctions partielles >Soit: $f : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur un ouvert $U \inc \mathbb{R}^{3}$. On appelle __fonctions partielles__ de $f$ en un point $\mathbf{a}_{0} = (x,y,z)$. >[!rappel] >La continuité $n$ième d'une fonction notée $\mathcal{c}^{n}$ dit que sa dérivée $n$ième est continue. (serra aussi important en conception ?) >__RAPPEL__: cf: système de courbes dans un rasterizer et continuité de ces courbes ---- >[!rappel] >On a: >$f(x_{0} + \delta x) = f(x_{0}) + f'(x_{0}) \delta x + \delta x * \epsilon (\delta x)$ >En sachant que $\epsilon(\delta x)$ tend vers 0 quand $\delta x$ tend vers 0 >[!definition] Fonction différentiable en un point >On aura une application linéaire notée: $d f_{a_{0}}: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$ telle que: >$f(a_{0} + h) = f(a_{0}) + f'(h) + \mid\mid h\mid\mid \epsilon (h)$ Avec: $df_{a_{0}}(h)=\frac{\delta f}{\delta x}(a_{0})\delta x \dots$ Approximation: $ f(a_{0+h)} \simeq f(a_{0}) + h(df(h)) $ ------ $\int_{a}^{b} \, f(x) dx \implies \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(T))g'(T) \, dT$ $ \begin{align*} d \ln a &= \frac{d A}{A} \\ A &= L \times l\\ \ln A &= \ln (L * l)\\ d \ln A &= \dots\\ \frac{1}{L} dL + \frac{1}{l} dl &= \frac{dA}{A} \end{align*} $