---- Existe-t-il $f: \mathbb{R}^{3} : \mathbb{R}$ telle que $d f = 2y dx + (2x+z) dy + y dz$ Rappelons que $df = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}$ ------ [CF POLI] >[!definition] Forme différentielle >Soit un $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^{3}$. une forme différentielle est une application $\omega$ définie sur $U$ par: >$\omega(x,y,z) = P(x,y,z) dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz$. Ou les trois fonctions sont des application de U vers R. >$\omega$ est $\mathcal{C}^1$ si $P,Q,R$ sont $\mathcal{C}^1$. >[!definition] Forme différentielle exacte >Soit une forme différentielle $\omega$ définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^3$ est dite __exacte__ sur $U$ lorsqu'elle est la différentiele d'une fonction $f : U \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C^1}$ sur $U$ càd lorsque: >$\omega = df$. >On dit alors que la fonction $f$ est une primitive de $\omega$ sur $U$. Trouver une telle fonction $f$, c'est intégrer $\omega$ [TODO] chercher si en théorie tu peux faire une triple intégrale de n'importe quelle forme différentielle (en théorie oui ?). ---- >[!definition] Forme différentielle fermée >Une forme différentielle $\omega = P d x + Q dy + R dz$ est __fermée__ sur $U \inc \mathbb{R}^3$ lorsque: >$P(x,y,z) \in U\begin{cases} \frac{\partial P}{\partial y}(x,y,z) &= \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y,z)\\ \frac{\partial P}{\partial z}(x,y,z) &= \frac{\partial R}{\partial x}(x,y,z)\\ \frac{\partial Q}{\partial y}(x,y,z) &= \frac{\partial R}{\partial x}(x,y,z) \end{cases}$ $\frac{1}{2}=\frac{2}{1}$ ------ #### Théorème de schwarz Soient $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^{3}$ et $\omega$ une forme différentielle de classe $\mathcal{C_{1}}$ sur $U$. __Si__ $\omega$ est __exacte__ sur $U$ __alors__ $\omega$ est fermée sur $U$. ![[1 cm 6 - calcul différentiel 2 2023-11-15 09.24.49.excalidraw.svg]] >[!warning] >La réciproque est fausse. une forme différentielle de classe $C^{1}$ peut être fermée sur un ouvert $U$ sans pour autant être exacte sur $U$. > >[!remarque] contraposition de schwarz >Le théorème de Schwarz d'utilise par __contraposition__: si une forme différentielle $\omega$ , de classe $C_{1}$ sur un ouvert $U$ __n'est pas fermée__ sur $U$ __alors elle n'est pas exacte__ sur cet ouver $U$ Par exemple, si on a une fonction avec $\frac{\partial Q}{\partial z} = 3 \neq 0=\frac{\partial R}{\partial y}$ Elle n'est donc pas exacte sur $\mathbb{R}^3$. ### Théorème de Poincaré >[!definition] >Soient $U$ un ouvert simplement connexe ((càd en un seul morceau et sans trou). $\omega$ une forme différentielle de classe $\mathcal{C_{1}}$ sur $U$. __Si__ $\omega$ est fermée sur $U$ alors $\omega$ est exacte sur $U$. >[!exemple] >La forme différentielle $\omega = 2ydx + (2x+z)dy+ydz$ de classe $\mathcal{C_{1}}$ sur $\mathbb{R}^{3}$ est exacte sur [CF POLI] ----- ### Simplement connexe Soit $\mathcal{D}$ un sous ensemble de $\mathbb{R}^{2}$ ou de $\mathbb{R}^{3}$: - On dit que $\mathcal{D}$ est __connexe__ lorsque tous les points de $\mathcal{D}$ peuvent être reliés par une courbe contenue dans $\mathcal{D}$. - ![[1 cm 6 - calcul différentiel 2 2023-11-15 09.38.17.excalidraw.svg]] - On dit que $\mathcal{D}$ est __simplement connexe__ lorsqu'il est connexe et toute courbe fermée incluse dans $\mathcal{D}$ peut être déformée (de façon continue) en un point de $\mathcal{D}$. - $\mathbb{R}^{2}$ privé d'un point n'est pas simplement connexe. - $\mathbb{R}^{3}$ privé d'un point est simplement connexe >[!remarque] >On a le droit à toute translation et changement de taille