#cours # Système de coordonnées dans le plan ---- >[!proposition] >$M+d \vec{OM} = M + dx (\vec{e_{x}}) + dy (\vec{e_{y}})$ On assimile le déplacement élémentaire du point $M$, lorsque ses deux coordonnées cartésiennes $x$ et $y$ subissent de petites variations $dx$ et $dy$, à la différentielle du vecteur $\vec{OM}$ avec: $ d \vec{OM} = \frac{\partial \vec{OM}}{\partial x} dx + \frac{\partial \vec{OM}}{\partial y} $ ## Polaires >[!definition] >Soient $\mathcal{R}=(O,e_{x},e_{y})$ et $M(x,y)$ dans $\mathcal{R}$. On appelle coordonnées polaires du point $M \in E_{2}$ tout couple $(r,\theta) \in \mathbb{R}^{2}$ tel que: >$\begin{align*} x = r \cos \theta&&& y = r \sin \theta \end{align*}$ > On a alors $\vec{OM} = (r \cos \theta) e_{x} + (r \sin \theta) e_{y}$ >[!remarque] >Pour la conversion R => P >on utilisera $r$ la distance et $\cos \theta = \frac{x}{r}$ et $\sin \theta = \frac{y}{r}$ >[!warning] > La base polaire dépend du point $M$ considéré puisque les deux vecteurs $\vec{e_{r}}$ et $\vec{e_{\theta}}$ dépendent de $M$. En toute rigueur, nous devrions les noter $\vec{e_{r}}(M)$ et $\vec{e_{\theta}}(M)$ puisqu'ils dépendent de $M$ $\begin{align*} e_{r}(M) = (\cos \theta) e_{x} + (\sin \theta) e_{y}\\ e_{\theta}(M) = (-\sin \theta) e_{x} + (\cos \theta) e_{y} \end{align*} $ ---- Soit un point $(x,y)$, alors: $ r (\cos(\theta) e_{x} + \sin \theta e_{y}) = r \vec{e_{r}} $ >[!proposition] >$\forall M (r, \theta)|_{pol} \in E_{2}$ alors $d \vec{OM} = dr \vec{e_{r}}+r d\theta \vec{e_{\theta}}$ ![[1 cm 8 - Systèmes de coordonnées 2023-11-29 09.54.24.excalidraw.svg]] ---- Cylindrique: $\vec{OH}=OH \cos \theta e_{x} + OH \sin \theta e_{y}$, sachant que $OH$ est le projeté du point $M$ sur le plan $xOy$. en gros, cylindrique sur le plan xOy c'est la même chose qu'en cylindrique remarque, on aura toujours: $\cos \theta = \frac{x}{r}$ et $\sin \theta = \frac{y}{r}.$ Une courbe coordonnées a toujours 2 valeurs fixée >[!remarque] (A RETENIR) >__COURBE coordonnées: courbe ne dépendant seulement des axes__ $E_{r}(M)=\cos \theta e_{x} + \sin \theta e_{y}$. >[!rappel] >$OM=re_{r}+ze_{z}$ On a alors: $ \begin{align*} d OM &= dr \vec{e_{r}} + r d \theta vec{e_{\theta}} + dz \vec{e_{z}}\\ &= \frac{\partial}{\partial r} \vec{OM} dr + \frac{\partial}{\partial \theta} \vec{OM} d\theta+\frac{\partial}{\partial z} \vec{OM} dz\\ \frac{\partial}{\partial r} \vec{OM} dr&= \frac{\partial r}{\partial r} \vec{e_{r}}\\ \end{align*} $ >[CF POLI] ----- >[!warning] >ATTENTION: le cours peut provoquer des douleurs au dos, faire attention de ne pas faire plus de 2h d'OMNI par jour. L'utilisation de l'axe ortho-axial est dangereux ---- Coordonnées sphérique: $ \begin{cases} x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta \end{cases} $ Ainsi: $ x \vec{e_{x}} r \sin \theta \cos \phi+ \\ y \vec{e_{y}} r \sin \theta \sin \phi + \\ z \vec{e_{z}} r \cos \theta $ >[!remarque] >karma de la vie, theta est dans le plan perpendiculaire à xy et phi est celui perpendiculaire à zy soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur le plan (xOy) - Soit $r = OM$ coordonnée radiale - la coordonnée colatitude c'est l'angle $\theta$ entre $OM$ et $e_{z}$ - coordonnée angulaire: $\phi$ l'angle entre $OH$ et $x_{x}$ >[!warning] >afin de trouver les colatitude il faut siffler, en effet c'est super efficace en IE $\begin{align*} x &= r \sin \theta \cos \phi \\ y &= r \sin \theta \sin \phi \\ z &= r \cos \theta \end{align*} $ ![[1 cm 8 - Systèmes de coordonnées 2023-12-13 09.11.44.excalidraw.svg]] >[!remarque] >Manger en math c'est pas possible --- $ \begin{align*} e_{r}(M)= \sin \theta \cos \phi e_{x}+\sin \theta \sin \phi e_{y}+ \cos \theta e_{z}\\ \vec{e_{\theta}}(M)&= \cos \theta \cos \phi e_{x}+\cos \theta \sin \phi e_{y}-\sin \theta e_{z}\\ \vec{e_{\phi}}(M)&= -\sin(\phi)e_{x}+\cos(\phi)e_{y} \end{align*} $ >[!remarque] >Parfois dériver permet de retrouver les trucs correspondants, et on peut être heureux. et $OM = r \vec{e_{r}}$ voici, $\forall r \in \mathbb{R}^{+}\,\,r\vec{e_{r}} \text{ est équivalent à: }$ ![[Pasted image 20231213093036.png]]