# 1] Un champ de scalaire >[!definition] Champ de scalaires >On appelle __champ de scalaires__ (appelé aussi __champ de scalaire__) sur un ouvert $U$ du plan $\mathcal{E}_{2}$ ou de l'espace $\mathcal{E}_{3}$ toute fonction $f$ qui à tout point $M\in U$ associe un nombre $f(M)\in\mathbb{R}$ >Càd: >$M\in U \in \mathcal{E}_{2} \to f(M)\in \mathbb{R}$ >ou: >$M\in U \in \mathcal{E}_{3} \to f(M) \in \mathbb{R}$ >En particulier, un champ scalaire est dit de classe $\mathcal{C}^{k}$ sur $U$ lorsque la fonction scalaire $f$ l'est Exemple de champ scalaire: ![[Pasted image 20240327081129.png]] --- En munissant l'espace $\mathcal{E}_{3}$ d'un ROD $\mathcal{R}=(0;\vec{e_{x}};\vec{e_{y}};\vec{e_{z}})$ on peut toujours identifier un point $M$ de $\mathcal{E}_{3}$ à un triplet $x,y,z$ dans $\mathbb{R}3$. correspondant à ses trois coordonnées cartésiennes dans $\mathcal{R}$: $ \vec{OM}=x \vec{e_{x}} + y \vec{e_{y}}+ z \vec{e_{z}} $ On aura donc: $ f(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 $ [CF POLI] ----- >[!exemple] >Soit $O$ un point de l'espace $\mathcal{E_{3}}$. Considérons le champ scalaire: >$f: M \in \mathcal{E}_{3} \to \mid \vec{OM} \mid \in \mathbb{R}$ >"distance à l'origine" >Munisson l'espace $\mathcal{E}_{3}$ d'un ROD $\mathcal{R}$ >[CF POLI] ## Isoscalaire d'un champ de scalaire >[!definition] >Soit $f$ un champ scalaire du plan $\mathcal{E}_{2}$ (esp de l'espace $\mathcal{E}_{3}$). On appelle __isoscalaire__ de $f$ l'ensemble des points $M$ du plan $\mathcal{E}_{2}$ (resp de $\mathcal{E}_{3}$) tels que $f(M)=c$. >[!remarque] >En gros c'est beaucoup de mot pour dire qu'une fonction est constante On pourra prendre des isoscalaire pour des lignes de niveau pour la pression atmosphérique. ![[Pasted image 20240327082146.png]] Ces lignes de niveau sont des sections par rapport aux section: ![[Pasted image 20240327082310.png]] ---- >[!exemple] >Soient $O$ un point du plan $\mathcal{E}_{2}$ et $f$ le champ scalaire défini par: >$f(M)=\frac{1}{1+\mid OM\mid^{2}}$ >![[Pasted image 20240327082617.png]] >On aura alors Les courbes de niveau $\Gamma_{c}$ qui serront des cercles concentriques de centre $O$ et de rayon $\sqrt{ C^{-1} - 1 }$ ainsi: >$C \in ]0,1[ \, M(x,y) \in \mathcal{E_{2}}$ >$\begin{align*} f(M)&= C \\ C &= \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\\ \frac{1}{C}&= 1+x^{2}+y^{2}\\ \sqrt{ \frac{1}{C}-1 } &= \sqrt{ x^{2}+y^{2} } \end{align*}$ > On a alors l'équation d'un cercle >[!exemple] >flemme d'écrire / faire les schémas ---- # Champs vectoriels C'est un champs de vecteur. >[!definition] >On aura un champs vectoriel de l'espace une fonction $\vec{V}(M)$, on aura: >$V(x,y,z)=\vec{e_{x}} V_{x}(x) + \vec{e_{y}} V_{y}(y) + \vec{e_{z}} V_{z}(z)$ Et parce que la vie est super fun, on peut convertir les champs vectoriels dans les systèmes sphériques comme: $ \begin{align*} \vec{V}(M)&= \frac{r\sin \theta \cos \phi}{r^{2}}\vec{e_{x}}+\frac{r\sin \theta \sin \phi}{r^{2}} e_{y} + \frac{r \cos \theta}{r^{2}} e_{z}\\ &= \frac{1}{r^{2}} \vec{e_{r}} \end{align*} $ ---- >[!exemple] >Soit $P(x,y)=(-y,x)$ >On aura: ![[Pasted image 20240327085136.png]] >Mais on peut également l'exprimer par: >$\begin{align*} P(x,y) &= -r \sin \theta \vec{e_{x}} + r \cos \theta \vec{e_{y}}\\ &= r \vec{e_{\theta}} \end{align*}$ >[!definition] >On détermine une ligne de champs en dérivant la fonction $ \begin{cases} x'(t)= C \times V_{x}(x(t),y(t),z(t)) \\ y'(t)= C \times V_{y}(x(t),y(t),z(t)) \\ z'(t)= C \times V_{z}(x(t),y(t),z(t)) \\ \end{cases} $ C'est une équa diff à 3 lignes avec 3 inconnus. Et là c'est le drame. >[!remarque] >Car on est des victimes, on nous donnera en général des équa diff simples/"triviales". On utiliseras des logiciels pour trouver les versions difficiles.