![[Pasted image 20240515080834.png]] # Circulation d'un champ vectoriel >[!definition] >Circulation d'un champ de vecteur le long d'une courbe: >Soit $\vec{V}$ un champ vectoriel du plan $\mathcal{E}_{2}$ ou l'espace $\mathcal{E}_{R}$ continu sur un ouvert $U$, et soit $\Gamma \inc U$ une courbe orientée. >On appelle __circulation de $\vec{V}$ le long de $\Gamma$__ l'intégrale curviligne. >$C_{\Gamma}= \int_{\Gamma} \vec{V} \cdot \vec{\tau} d \mathcal{l} = \int_{M\in \Gamma} \vec{V}(M) \cdot \vec{\tau} (M)\, dl $ >Où $\vec{\tau}(M)$ est __le vecteur unitaire__ tangent à $\Gamma$ en $M$ en définissant l'orientation de $\Gamma$ >[!shitpost] >Parce que l'on arrive a résoudre des problèmes extrèmement complexe, mais que l'on reste humain, il y aura éternellement une guerre de notation. Donc on peut avoir: >$\int \vec{V} \cdot \vec{\tau} \, dl = \int \vec{V} \cdot \vec{dl} $ De plus intégrer de manière inverse un champ, équivaut juste au même champ multiplié par $-1$ # Champ vectoriel à circulation conservative >[!shitpost] > >[!definition] >Un champ vectoriel du plan $\mathcal{E_{2}}$ ou de l'espace $\mathcal{E}_{3}$ continu sur un ouvert $U$, est dit à __circulation conservative__ lorsque sa circulation le long de toute courbe fermée est nulle. En d'autres termes, un champ vectoriel $\vec{V}$ est dit à __circulation conservative__ lorsque: $ \oint_{\Gamma} \vec{V} \cdot \vec{\tau} \, dl = 0 $ Si un champ vectoriel $\vec{V}$ du plan $\mathcal{E_{2}}$ ou de l'espace $\mathcal{E}_{3}$ dérive d'un potentiel scalaire $\phi$ alors sa circulation entre deux points $A$ et $B$ ne dépend pas du chemin $\Gamma_{AB}$ suivi mais uniquement des valeurs du potentiel scalaire $\phi$ en ces deux points. >[!remarque] >Si on a: $V(t)= -\vec{grad}(\phi)$ alors, on aura: >$- \oint_{\Gamma} \vec{grad}(\phi) \cdot \vec{\tau} d l $ # Champ / flux d'un champ vectoriel On intègre juste deux fois, avec du coup la normale produit scalaire de la force. >[!definition] >Une surface fermée c'est une surface qui est fermée >cf: ballon de foot En fait on la déjà refait et refait. Ce cours est du déjà vu. >[!shitpost] >![[Pasted image 20240515093944.png]]