# Chapitre 3 - Erreurs et Incertitudes >[!warning] >Il ne faut pas confondre Erreurs et Incertitudes ## Fiche objectif #### Prérequis: - [ ] Notions de statistiques (moyenne, écart type) - [ ] Calculs d'inégalités #### Objectifs - [ ] Connaître les définitions d'erreur et d'incertitude, absolue, relative. - [ ] être capable de déterminer les différentes sources d'éerreurs d'une mesure directe et de les estimer. - [ ] Savoir calculer une moyenne et un écart type sur une série de mesures. - [ ] Connaitre le lien entre écart-type et incertitude - [ ] être capable de calculer l'incertitude sur une mesure indirecte (encadrement, calcul différentiel). - [ ] Savoir présenter un résultats (chiffres, significatifs, incertitude, graphes) et le confronter à un modèle théorique ou à d'autres mesures. # 3.1 Erreurs de mesure >[!warning] >Qu'importe la précision de l'outil, on n'accepte jamais la valeur près. On aura toujours une incertitude. >[!definition] >**Valeur rapproché de $G_{\alpha}$** >Soit $G$ une grandeur à mesurer. Dire que $g_{\alpha}$ est une valeur approchée à $\alpha$ près de $G (\alpha > 0)$ signifie que: >La mesure de $G$ est située dans $[g_{\alpha} - \alpha; g_{\alpha}+\alpha]$. > >Donc $g$ mesure de $G$ **est le résultat de mesurage** >[!definition] >Valeur vraie: $V$ . C'est la valeur que l'on ne peut pas atteindre; >$\begin{align*} \lim g_{\alpha}&= V\\a\rightarrow0 \end{align*}$ Ce schéma permet de décrire les ![[1 cm 3 - Chap 3 Erreurs et Incertitudes 2023-09-25 08.36.16.excalidraw.svg]] Si on nous dit qu'elles sont les 5M, on doit faire les schéma et identifier les sources d'erreurs. - **Matière** (grandeur à mesurer) - La grandeur est mal définie - Par exemple pour un ressort, on sait pas exactement ou est ce que le ressort est défini dans certains cas. - Le phénomène est fluctuant (variation dans le temps) - Par exemple, dans un ampèremètre, le temps qu'on relève la mesure, on remarque que le dernier chiffre change rapidement. - Présence de dispersion (variation dans l'espace) - Si on prend un cylindre qui a été "mal" usiné et que le dessus et en dessous a un diamètre différent - **Matériel** (instrument de mesurage) - Mobilité de l'appareil - Sûreté de lecture - fidélité - justesse - **Méthode** (protocole) - Protocole mis en oeuvre par l'opérateur. - Choix d'un dispositif plus ou moins adapté - Utilisation plus ou moins correct du dispositif. - **Main d'oeuvre** (l'expérimentateur) - Les sens de l'opérateur - Aptitude à opérer la mesure - (Exemple, le fait que l'on voit mal avec nos yeux la mesure) - **Milieu** (condition environnementales) - Tout paramètre ayant une influence sur la mesures - Par exemple l'effet de la température sur l'expérience, si quelqu'un ouvre la fenêtre; ### Définition des erreurs de mesures >[!definition] >On appelle __erreur vraie__ du résultat de mesurage le réel $\delta g$ (positif ou négatif) défini par: >$\delta g = g - V$ >[!definition] >On appelle __erreur relative__ du résultat de mesurage le réel: >$\frac{\delta g}{V}$ >$V$ étant inconnu, $\delta g$ et $\frac{\delta g}{V}$ sont inconnus. >[!exemple] >Si on a un $\delta g = 1mm$ et $V = 10m$, ça représente une erreur d'a peut près $1mm$ sur une grandeur attendue $10m$. >[!remarque] >On utilisera des pourcentages parfois >[!remarque] >En général, on nous demanderas dans la problématique, une erreur relative maximale $x\%$. Ou alors on nous demanderas un esprit critique. ## Classification des erreurs expérimentales [CF POLI] - Parasite - Je l'ai identifié, je peut le corriger, ou alors c'est juste un coup - Erreur systématique - Erreur restant toujours la même, on peut la corriger et l'identifier - Erreur accidentelle - La grandeur à mesurer est définie avec une approximation meilleure que celle que permet [...] ### 3.2.1 Incertitudes sur une grandeur bien définie >[!definition] >On appelle __incertitude absolue__ du résultat de mesure une _limite supérieure raisonnable_ $\Delta g$ de la valeur absolue $|\delta g|$de l'erreur vraie $\delta g$ liée à ce résultat. >[!definition] >On appelle __incertitude relative__ du résultat de mesure une _limite supérieure raisonnable_ de la valeur absolue $\frac{\delta g}{V}$ de l'errreur relative $\frac{\delta g}{v}$ [CF POLI] >[!remarque] >Ce que l'on veut dire par "raisonnable" c'est éviter de prendre une incertitude de 5cm pour une règle par exemple. --------- ### Ecriture ### Domaine d'incertitude $ V = g \pm \Delta g $ ou: $ V = g(1 \pm \frac{\Delta g}{g}) $ ### Chiffres significatifs Ce sont tous les chiffres d'un résultat numérique autres que les zéros précédant le premier chiffre différent de $0$. >[CF POLi] >[!definition] Chiffres significatifs >Ce sont tous les chiffres d'un résultat numérique autre que les zéros précédant le premier chiffre différent de 0 >[!remarque] >À la place de se prendre la tête avec les chiffres significatifs, on utilises l'écriture scientifique; Si l'incertitude porte sur l'unité, on ne prendra pas en compte les chiffres après la virgules. >[!exemple] >Si on prend $R = \frac{U}{I}$. Si on a un $\Delta R = 0.2 \Omega$. >Si on a comme résultat brut: $10,2587 \Omega$, on notera comme résultat brut: >$10.2 \pm 0.2 \Omega$ ou $10 \pm 1 \Omega$. On essayera pas forcément d'avoir une incertitude la plus faible possible. >[!remarque] >Dire que $R=10.2587$ avec $\Delta R = 0.2$, on peut noter $10.3$ ou $10.2$, puisque c'est au niveau de l'incertitude. ## 3.2.3 estimation des incertitudes Une fois que l'on quantifié et classifié les incertitudes. ![[1 cm 3 - Chap 3 Erreurs et Incertitudes 2023-09-29 15.23.13.excalidraw.svg]] >[!exemple] >Pour une __erreur__ systématique, par exemple, si il y a aucun élément sur une balance et qu'elle affiche déjà $0.01g$, on va soustraire $0.01g$ au poids final. >Sinon, on va faire une mesure de variation de masse. >On peut la régler aussi, en changeant d'instrument, par une méthode de mesure, en changeant de lieu, avoir recours à un étalon.... >[!remarque] >Pour des mesures de type $A$, c'est que l'on fait pleins de mesures et on peut estimer une moyenne et la proportion d'erreurs. >Plus le nombre de mesure est grande mieux c'est mais on peut faire un traitement statistique à partir de $10$. #### Pour les erreurs aléatoires ##### Type B C'est l'expérimentateur qui doit recenser toutes les sources d'éerreurs puis estimer les incertitudes associées (appareil, méthode, expérimentateur, etc...); >[!warning] > Toutes les contribution à l'erreur s'ajoutent, elles ne peuvent pas se compenser. >[!exemple] >Incertitude sur la position $X$ de l'image réelle d'un objet réel (position de l'écran) au travers d'une lentille mince (cf TP/TD Optique). >Ce n'est pas parce que la résoltion de la règle est en milimètre que je mesure la distence en milimètre: on a une indication pas forcément précise, on a l'épaisseur de la lentille. De plus, on peut voir net avec la lentille sur plusieurs millimètres. On aura: >$\Delta (\text{Position}) = \Delta \text{Netteté} + \Delta \text{Lecture}$ > On peut par exemple avoir: $\Delta \text{ lecture} = 1mm$ (1 graduation du rail), $\Delta \text{netteté}$ est prépondérante. $X = 127 \pm 5 mm$. ### En résumé Pour l'estimation de l'incertitude de Type B (une mesure) due aux erreurs aléatoires: on estime toutes les contributions et on majore en générale en prenant la plus grande. On se place donc dans le pire des cas o aucune erreur ne se compense. Notre objectif est d'avoir une estimation [CF POLI] #todo ## Incertitude de type A >[!definition] >On prend __suffisament__ de mesure pour avoir un traitement statistique qui a du sens (par exemple 10). soit: $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ >Cet échantillon de $n$ mesures va être traité de manière _statistique_. #### Histogramme des résultats (et polygones des fréquences) Soit un nombre $n_{i}$ de résultats obtenu dans des intervalles successifs $[x_{i}-d, x_{i}]$ où $d$ est une largeur arbitraire, fonction de $x$. En général on prend: $d = x_{i}-x_{i-1}$ . On aura un graphe __gaussien__. >[!remarque] >10 mesures ne permettent pas d'avoir un graphe gaussien beau. ### Moyenne et espérence >[!definition ] def: moyenne >$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}x_{i}$ >Plus on fait de mesures, plus cette moyenne se rapprochera de la valeur finale. >[!definition] def: espérance >la valeur idéale ##### Dispersion des valeurs, écart type, incertitude Pour caractériser la largeur de la distribution càd la dispersion des valeurs autour de la moyenne on définit l'écart type. Il permet de connaitre la dispersion des valeurs. Ça se calcule: $ s = \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum^{n}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^{2} } $ >[!warning] >Il faut faire attention, car parfois à la place d'avoir $n-1$, on aura $n$ sur la calculatrice. >[!exemple] >En évaluation on a pleins de $0$ et de $20$, on aura une grosse dispersion. Et donc, un gros écart type. --- On aura alors une incertitude type notée $u$ ou $\Delta x$: $ \Delta x = \frac{s}{\sqrt{ n }} $ >[!exemple] >Pour une série de $n$ mesures d'une grandeur $X$, la valeur expérimentale sera $\overline{x}$. [CF POLI] #todo ### Confiance On aura comme intervalle de confiance: $ k \frac{s}{\sqrt{ n }} $ - $k=1 : X = \overline{x} \pm \frac{s}{\sqrt{ n }}$ - intervalle de $68.3\%$ - $k=2$ : $X = \overline{x} \pm \frac{2s}{\sqrt{ n }}$ intervalle de $95\%$ - $k=3$ : $X = \overline{x} \pm \frac{3s}{\sqrt{ n }}$ $99.8\%$ Plus interval est grand, plus la valeur a de chance d'être dedans; On va nous donner l'intervalle de confiance On aura alors: $ f(x) = \frac{1}{o \sqrt{ 2 \pi }} \exp(-\frac{((x-\mu)^{2})}{2o^{2}}) $ ![[1 cm 3 - Chap 3 Erreurs et Incertitudes 2023-10-02 08.01.29.excalidraw.svg]] >[!remarque] >On remarque alors, que plus l'écart type est petit, plus on serra certains de la valeur $µ$. # Mesures indirectes >[!definition] >C'est une loi physique qui permet de déterminer des valeurs à partir de mesures directes. Donc, ici, on prendra $\Delta X$, $\Delta Y$... >Exemple: $R = \frac{U}{I}$. Toujours sur l'exemple $R=\frac{U}{I}$, on remarque que $\Delta R \neq \frac{\Delta U}{\Delta I}$. Il y a plusieurs méthodes. ### Encadrement >[!definition] >On cherche la valeur $min$ et la valeur $max$, et on cherchera l'incertitude. >Donc, soit une lois $G$ avec $f(x)$ et les mesures indirectes $\Delta X$, $\Delta Y$, ... >On aura: $\begin{align*} g_{max} &= \max[f(x,y,z\dots)] \\ g_{\min} &= \min[f(x,y,z\dots)]\\ \Delta g &= max[(g-g_{min}), (g_{max} - g)]\end{align*}$ >Ou encore: $\Delta g = \frac{g_{max}+g_{min}}{2}$ >[!remarque] >Certaines lois ne peuvent pas permettre d'avoir une incertitude par encadrement. >[!remarque] >On va rapidement abandonner cette méthode, car elle est très majorante sur l'erreur. (càd qu'il prend le pire cas, alors que l'on peut facilement réduire l'incertitude avec d'autres méthodes, comme le calcul différentiel). >[!exemple] >Soit $R= \frac{U}{I}$, >On aura: $\begin{align*} R_{max} &= \frac{U_{max}}{I_{min}} &= \frac{U+\Delta U}{I-\Delta I}\\ R_{min} &= \frac{U_{min}}{I_{max}} &= \frac{U-\Delta U}{I+\Delta I} \end{align*}$ > [CF POLI] #todo >[!exemple] > La charge $Q(C)$ d'un condensateur est donnée par la formule $Q=CU$, où $C(F)$ est la capacité du condensateur et $U(V)$ la différence de potentiel à ses bornes. > Exprimez l'incertitude sur $Q$ par encadrement. > #todo >[!exemple] >La puissance $P(W)$ consommée par une résistance $R(\Omega)$... #todo [CF POLI] La méthode __d'encadrement__ pour l'estimation de l'incertitude sur une mesure indirecte devient complexe lorsque la loi __de dépendance f__ n'est pas une fonction simple. ## Incertitude composée Si la grandeur de $G$ se déduit de $N$ grandeurs $x_{i}$ __non corrélées__ indépendantes, par la loi de type $G= {f(x_{0}, x_{1}, x_{2},..)}$ par la lois de $G\dots$, ça se calcule: >[!remarque] >corrélé: l'une des valeur se calcule avec une autre $ \Delta G = \sqrt{ \sum^{n}_{i=1}\left( \frac{df}{dx_{i}} \right)^2(\Delta x_{i })^2 } $ >[!remarque] >$\frac{df}{dx_{i}}$ est la dérivée partielle de la fonction $f$ par rapport à la variable $x_{i}$. (+ les symboles ne sont pas bons) ## Présentation des résultats de mesures ### Valeurs numériques #### Tableau de valeurs Les résultats de mesures directes et indirectes sont présentés dans un tableau regroupant: - toutes les valeurs des mesures directes - la moyenne calculée - les incertitudes associées - les valeurs de mesures indirecte et la loi de dépendance ![[1 cm 3 - Chap 3 Erreurs et Incertitudes 2023-10-02 08.30.27.excalidraw.svg]] - #### Graphes Tracé manuel des variations de la grandeur $G$ en focntion de $x$: - Choix judicieux des échelles - Mentions sur chaque axe de la grandeur représentée et de son unité - graduation des axes - report sur le graphe des points de mesure - pour chaque point le rectangle d'incertitude ![[1 cm 3 - Chap 3 Erreurs et Incertitudes 2023-10-02 08.33.24.excalidraw.svg]] ### Calcul différentiel