>[!definition] Oscillations >C'est par exemple un pendule, qui a une position initiale, et il va naturellement revenir à sa position d'équilibre. >D'un point de vue mécanique et électrique. Un système physique possède des positions d'équlibres stables lorsqu'il existe des forces au sein même du système qui tendent à le ramener vers le position d'équilibre. Sous l'effet d'une perturbation extérieure, __une des réponses possibles__ du système est un mode d'oscillation (ou vibration) périodique, généralement amorti, qui le ramène progressivement vers sa position d'équilibre. On aura deux types d'oscillations: - Libres (aucunes forces qui forcent l'oscillation) - Forcées (exemple: électricité, avec le générateur qui force une sinusoïde). >[!definition] Oscillateur harmonique > Position au cours du temps qui est représenté par une sinusoïde >[!question] >Tout est harmonique ? > >[!definition] Système à un degré de liberté > Une seule variable nécessaire pour décrire le mouvement; ## Exemple ![[2 cm 4 oscillations libres et forcées 2024-05-06 14.09.30.excalidraw.png]] %%[[2 cm 4 oscillations libres et forcées 2024-05-06 14.09.30.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% ![[2 cm 4 oscillations libres et forcées 2024-05-06 14.13.19.excalidraw.png]] %%[[2 cm 4 oscillations libres et forcées 2024-05-06 14.13.19.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% $\begin{align*} - k [x(t)] + mg + \alpha \vec{v} = m \vec{a}\\ - k [x(t)] + mg + \alpha \vec{v} - m \vec{a}&= 0 \\ - k [x(t)] + mg + \alpha \frac{ x(t)}{dt} - m \frac{d^2x(t)}{dt^2}&= 0 \\ \frac{- k [x(t)]}{m} + g + \frac{\alpha}{m} \frac{ x(t)}{dt} - \frac{d^2x(t)}{dt^2}&= 0 \\ \frac{- k [x(t)+l_{e}-l_{0}]}{m} + \frac{\alpha}{m} \frac{d x(t)}{dt} - \frac{d^2x(t)}{dt^2}&= 0 \\ \frac{ k [x(t)]}{m} + \frac{\alpha}{m} \frac{d x(t)}{dt} + \frac{d^2x(t)}{dt^2}&= 0 \\ \end{align*} $ $ \begin{align*} a= 1 ; b &= \frac{\alpha}{m} ; c = \frac{k}{m}\\ \Delta &= \frac{\alpha^2}{m^2} - 4 \frac{k^2}{m^2} \end{align*}$ On notera: $ \begin{align*} \Delta > 0 &\implies \text{aperiodique}\\ \Delta = 0 &\implies \text{aperiodique critique}\\ \Delta < 0 &\implies \text{pseudo périodique} \end{align*} $ ![[2 cm 4 oscillations libres et forcées 2024-05-06 14.26.19.excalidraw.png]] %%[[2 cm 4 oscillations libres et forcées 2024-05-06 14.26.19.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% $ \begin{align*} \text{pseudo périodique: }&&\omega &= \sqrt{ \omega_{0}^{2}- \lambda^2 }\\ \text{apériodique : }&& \frac{\alpha}{2m} &= \sqrt{ \frac{k}{m} }\\ \text{apériodique critique: }&& \alpha_{critique} &= 2\sqrt{ m k }\\ \end{align*}$ # Bilan d'énergie >[!definition] >Le facteur de qualité représente l'énergie perdue au cours du temps, l'oscillateur amorti n'est pas un système conservatif. L'énergie du système n'est pa sune constante et sa variation au cours du temps va correspondre au travail des forces de frottement. $ Q = 2 \pi \frac{\text{énergie du système}}{\text{energie perdue à chaque perdiode}} $ >[!remarque] >On peut entretenir les oscillations afin de faire tourner l'oscillateur indéfiniment, comme par exemple une balançoire. On apporte juste l'énergie nécessaire pour compenser la perte: l'oscillateur continue à osciller avec la même période fixée par le système. ### Analogie électricité: Circuit RLC CF POLI On aura: $\begin{align*} \sum u &= 0\\ LC d^{2} \frac{u_{c}(t)}{dt^{2}} (R+r) \end{align*} $ ![[2 cm 4 oscillations libres et forcées 2024-05-07 11.01.23.excalidraw.png]] %%[[2 cm 4 oscillations libres et forcées 2024-05-07 11.01.23.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% On aura donc: $ \begin{align*} u_{c}(t) + r C \frac{du_{c}}{dt} + L C \frac{d^{2}u_{c}}{dt^{2}} + RC \frac{du_{c}}{dt} &= 0\\ \frac{d^{2}u_{c}}{dt^{2}} + \frac{r+R}{L} \frac{du_{c}(t)}{dt} + \frac{1}{LC} u_{c} &= 0\\ \lambda&= \omega_{0}\\ R_{CT} &= 2 \sqrt{ \frac{L}{C} } \end{align*} $ ## Oscillations forcés ### Exemple ![[2 cm 4 oscillations libres et forcées 2024-05-07 11.13.02.excalidraw.png]] %%[[2 cm 4 oscillations libres et forcées 2024-05-07 11.13.02.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% $\begin{align*} \frac{ k [x(t)]}{m} + \frac{\alpha}{m} \frac{d x(t)}{dt} + \frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}} - \frac{A}{m} (\cos \omega t)&= 0 \\ \end{align*} $ On aura donc une solution sous la forme: $ x(t) = X_{m } \cos (\omega t + \phi) $ $ \begin{align*} F &= A \cos \omega t \\ \overline{F} &= A e^{i \omega t}\\ \end{align*} $ On aura donc: $ x(t) = X_{m} e^{j\phi} $ Mais on prends $t = 0$ $ \begin{align*} \frac{d x(t)}{dt} = j \omega \overline{x}\\ \frac{d^{2} x(t)}{dt^{2}} = - \omega^2 \overline{x} \end{align*} $ On aura donc: $ \begin{align*} - \omega ^{2} \overline{x} + \frac{\alpha}{m} j \omega \overline{x} + \frac{k}{m} \overline{x} = \frac{A}{m}\\ \overline{x} [(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+j \omega 2 \lambda] &= \frac{A}{m} \\ \overline{x} &= \frac{A}{m * [(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+j \omega 2 \lambda]} \\ \end{align*}$ On aura donc: $ \begin{align*} \text{module: }& X_{m}\\ \text{arg: }& \phi\\ \end{align*} $ ![[2 cm 4 oscillations libres et forcées 2024-05-07 11.40.45.excalidraw.png]] %%[[2 cm 4 oscillations libres et forcées 2024-05-07 11.40.45.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% Donc, il faut que le facteur de qualité soit énorme afin d'atteindre de la résonance. Donc ayant: $Q = \frac{\omega_{0}}{2 \lambda}$ L'acuité de la résonnance serra la description comment la bande serra passé au régime ou pas. ##### Réponse en vitesse Toujours en résonance. $ V(t) = V_{m} \cos(\omega t + \phi_{v}) $