# Notes
## Transfert d'énergie mécanique: $W$
Le transfert d'énergie mécanique peut être vue comme le travail forces appliqués par notre système à l'extérieur.
$
W = W_{1}+W_{2}+\dots
$
Mais, dans nos cours de thermodynamique, on ne vas travailler uniquement sur les forces de pression. Mais On peut devoir calculer le travail du poid, d'un ressort etc...
$
W = - \int P_{ext} \, dV
$
Ici, on calcule les forces de __pression__ sur tout le volume. On calculera l'intégrale entre deux états.
On pourra avoir:
$
\begin{align*}
P &= \frac{nRT}{V}\\
W &= -\int \frac{nRT}{V} \, dV\\
&= - nRT \int \frac{1}{V} \, dV\\
&= \ln\left( \frac{V_{2}}{V_{1}} \right)
\end{align*}
$
$
\begin{align*}
W_{\text{irrev}} &= - \int P_{ext} \, dV\\
&= P_{ext}[V_{2}-V_{1}]
\end{align*}
$
### Travail $W$
Cette valeur représente le travail de la pression lors d'un changement de volume.
$
\begin{align*}
W &= - \int P \, dV \\\
\end{align*}
$
$\begin{align*}
W &= 0 \quad &&\text{ si } \Delta V=0\\
W &= -P \Delta V \quad &&\text{ si } \Delta P=0\\
W &= -P_{1}V_{1} \ln\left( \frac{V_{2}}{V_{1}} \right)\quad &&\text{ si } \Delta T=0\\
W &= \frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{\gamma-1}&&\text{ si } \Delta (PV^\gamma)=0\\
\end{align*}
$
### Transfert thermique: $Q$
Le transfert thermique s'écrit sous la forme:
$\begin{align*}
Q &= n C_{P} \Delta T \quad &&\text{ si } \Delta P=0\\
Q &= n C_{V} \Delta T \quad &&\text{ si } \Delta V=0\\
Q &= -W\quad &&\text{ si } \Delta T=0\\
Q &= 0&&\text{ si } \Delta (PV^\gamma)=0\\
\end{align*}
$
On utilisera des formules en général comme ça:
$
C_{v} \Delta T
$
$
d S = \frac{dU}{T} + \frac{dV}{T} P
$
## Chaleur latente
La chaleur latente est la quantité d'énergie n'écessaire afin de faire un changement d'état.
# Premier principe
>[!definition]
>Le premier principe se résume a cette équation:
>$E_{c}+\Delta U=Q+W$
>Avec:
>- $Q$ le transfert d'énergie thermique,
>- $W$ le transfert d'énergie mécanique
>- $E_{c}$ l'énergie cinétique d'un système
>- $\Delta U$ la variation d'énergie interne du système
>On va néanmoins négliger l'énergie cinétique.
>On aura:
>$\Delta U = Q+W$
>[!exemple]
>On a deux blocs en contact dans un système calorifugé, ayant chacuns: $[T_{0}, C_{m_{0}}, m_{0}];[T_{1}, C_{m_{1}}, m_{1}]$
# Entropie
>[!definition]
>L'entropie décrit le désordre dans un système. Comment il va être plus difficile de prédire la position des particules (c'est plus complexe, mais cette définition sert plus d'intuition afin d'avoir les formules).
>Par exemple, plus la température augmente, plus l'entropie augmente car les particules bougent et sont plus en "désordre"
>Elle est en $J.K^{-1}$
>Et se décrit sous la forme:
>$ \Delta S_{\text{échangé}} = \int \frac{1}{T} \, dQ $
> On peut diviser un système par plusieurs sous systèmes ($S_{total}=\sum S_{i}$) et on aura:
> $\Delta S = S_{\text{échangé}}+S_{\text{créé}}$
> Or, un système est irréversible ssi $S_{\text{créé}}=0$. On sait aussi que $S_{\text{échangé}} = 0$ si le système est isolé.
ù
$
\Delta S_{\text{univers}} = \Delta S_{\text{échangé}} + \Delta S_{\text{créé}}
$
L'entropie
$
\Delta S = S_{\text{échangé}} + S_{\text{créé}}
$
$S_{\text{créé}}=0 \implies$ réversible
$S_{\text{échangé}} = 0 \implies$ isolé
>[!theoreme]
>La variation d'entropie d'un __solide__ se décrit sous la forme:
>$\Delta S = m C_{m} \ln\left( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right)$
> On comprend qu'ici, plus $T_{2}$ augmente par rapport à $T_{1}$, plus le $\Delta S$ augmente lui aussi.
>[!theoreme]
>La variation d'entropie d'un __gaz__ se décrit sous la forme:
>$\Delta S = n C_{v n} \ln\left( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right) + n R \ln\left( \frac{V_{2}}{V_{1}} \right)$
On aura aussi:
$
\begin{align*}
dS &= \frac{d U + PdV}{T}\\
dS &= \frac{dH-VdP}{T}
\end{align*}
$
TLDR: ta juste a retenir:
En général l'entropie représente le désordre d'un __système__. Elle peut être créé et échangée. Mais elle ne peut être négative. En général on parlera de variation d'entropie.
Elle peut s'écrire sous ces formes:
$\begin{align*}
d S &= \frac{n C_{P} d T + V dP}{T}\\
d S &= \frac{n C_{V} d T + P d V}{T}
\end{align*}
$
On aura en général:
$
S_{créé} + S_{\text{interne}}
$
Si l'entropie créé est nul, alors elle est réversible. Par exemple si on a un frottement on aura un $S$ créé non nul et donc elle serra pas réversible.
>[!exemple]
>On prend deux solides en contacts qui n'ont aucun échange avec l'extérieure; Deux ont la même capacité thermique et ils ont tout les deux deux températures différentes.
>![[fiche 2024-05-09 16.09.06.excalidraw.png]]
%%[[fiche 2024-05-09 16.09.06.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
> On se pose la question si c'est irréversible ? Oui car on ne peux pas remettre en arrière deux bloc tiède à un bloc chaud et un bloc froid sans intéraction extérieure. Sauf si ils étaient déjà tiède où $\Delta S$ serrait égal à 0.
> On calcule alors $\Delta S$ du système total. Soit $\Delta S_{1} + \Delta S_{2}$:
> $\begin{align*}
\Delta S_{1} &= C \ln \left( \frac{T_{eq}}{T_{1}} \right)\\
\Delta S_{2} &= C \ln \left( \frac{T_{eq}}{T_{2}} \right)
\end{align*}$
> Avec $T_{eq}$ la température à l'équilibre. Avec ($dQ=0$) donc: $T_{eq}=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}$
> Ayant un système isolé, on aura $Q_{tot}=0$. Donc:
> $\Delta S = C \ln \left( \frac{T_{eq}^{2}}{T_{1}T_{2}} \right)$
> Or ayant $Q_{tot}=0$, alors $S_{\text{échangé}}=0$.
> $\Delta S = S_{\text{échangé}}+S_{\text{créé}}$
> Donc:
> $\begin{align*}
C \ln \left( \frac{T_{eq}^{2}}{T_{1}T_{2}} \right) &= S_{\text{créé}}\\
C \ln \left( \frac{(T_{1}+T_{2})^{2}}{4T_{1}T_{2}} \right) &= S_{\text{créé}}\\
\end{align*}$
> On aura alors $S_{\text{créé}}=0$ ssi $T_{1}=T_{2}$ sinon $S_{\text{créé}}>0$
>[!exemple]
>Détente de Joule Gay-Lussac
>![[fiche 2024-05-09 16.21.00.excalidraw.png]]
%%[[fiche 2024-05-09 16.21.00.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
> On ouvre la valve et le gaz va se détendre petit à petit.
> On peut avoir l'intuition lorsque on ouvre la valve qu'il y a un changement brutal, donc $S_{\text{créé}}>0?$.
> (Les deux compartiments ont les mêmes volumes, donc on aura $V_{i}=V$ et $V_{f}=2V$).
> On aura:
> $\Delta S = n R \ln\left( \frac{2V}{V} \right) + n C_{v m} \ln\left( \frac{T_{f}}{T_{i}} \right)$
> On ne connais pas la température finale par rapport à la température finale.
> __Premier principe:__ $\Delta u = W + Q$, on rappelle que $W = -\int P_{ext} \, dV$, or ayant une pression extérieure vide, alors elle est nulle. $Q=0$ car l'enceinte est calorifugé.
> $\Delta U = 0$, donc $T_{f}=T_{i}$ par la première loi de joule.
> $\Delta S = n R \ln\left(2\right) $
> Donc : $S_{\text{échangé}}=0$
> On aura donc: $S_{\text{créé}}=nR \ln(2)$
>[!exemple]
>Compression de gaz de manière isotherme
>![[fiche 2024-05-09 16.31.03.excalidraw.png]]
%%[[fiche 2024-05-09 16.31.03.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%%
> On fait un bilan d'enthropie sur l'air extérieure (thermostat), l'intérieur, et l'univers.
> __Gaz__:
> - $\Delta S = n R \ln\left( \frac{V_{2}}{V_{1}} \right)$ (on a $T_{0}$ constante).
>
> On calcule $Q$ avec: $\Delta U = W + Q = n C_{V m} * \ln\left( \frac{T_{f}}{T_{i}} \right)=0$ Ainsi $W = -Q$
> Or: $Q = \int P_{ext} \, dV$, donc la pression intérieure est égale à la pression extérieure car c'est une transformation lente quasistatique. Donc on prend: $PV=nRT$. Soit: $Q = n R T_{0} \int \frac{1}{V} \, dV = n R T_{0} \ln\left( \frac{V_{f}}{V_{i}} \right)$.
> Si on prend $S_{echangé}=\frac{Q}{T_{0}} (\text{en contact avec un point sur un thermostat})$, donc: $S_{echangé}=nR \ln\left( \frac{V_{f}}{V_{i}} \right)$
> Et donc:
> $S_{créé} = \Delta S - S_{echangé} = nR \ln\left( \frac{V_{f}}{V_{i}} \right) - n R \ln\left( \frac{V_{2}}{V_{1}} \right) = 0 $
> Donc au niveau local du gaz, on peut dire que c'est réversible.
> Si on prend au niveau du thermostat, c'est une variable d'état (pas de changement de température, ni de pression etc...) donc $S_{créé} = 0$, ainsi $\Delta S = S_{echangé}=\frac{Q_{therm}}{T_{0}}=-nR \ln\left( \frac{V_{2}}{V_{1}} \right)$
> Pour l'univers, on aura:
> $\Delta S_{univers} = \Delta S_{gaz}+ \Delta S_{therm} = 0$
>[!warning]
>Détente != Diminution de température. Il faut avoir une détente dans un gaz qui travail, et non dans le vide.
# Énergie
On peut facilement trouver $\Delta S$ et donc avoir $S_{\text{interne}}$ et $S_{\text{créé}}$.
$Q$ avec $\Delta U$ et $W$, (1ère lois de joule)
## Enthalpie
$
\begin{align*}
\Delta U &= W+Q\\
Q&= \Delta U - W\\
\Delta H &= U + PV\\
= \int^1_{0} \, dx
\end{align*}$
### Enthalpie
L'enthalpie représente l'énergie __interne d'un système__.
On aura:
$
H = U + PV
$
La variation d'enthalpie $\Delta H$ représente alors l'énergie __absorbée ou dégagée__ par un système.
$\begin{align*}
\Delta H > 0 &: \text{endothermique (prend de la chaleur)}\\
\Delta H < 0 &: \text{exothermique (dégage de la chaleur)} \\
\end{align*}
$
$
\Delta H = Q_{P}
$
Où $Q_{P}$ représente l'énergie échangée entre le système et le milieu extérieure lors d'une transformation mono bare.
On aurait aussi:
$
\begin{align*}
d U &= \delta Q - PdV \\
dH &= \delta Q - PdV + P d V + V dP\\
dH &= \delta Q + V d P \\
dH &= T dS + V dP
\end{align*}
$
----
Variation d'enthalpie d'état.
On peut noter une variation d'enthalpie entre plusieurs états:
$
\Delta_{fus} H \quad \Delta_{vap} H \quad \Delta_{sub}H
$
On sait que: $\Delta_{fus}H+\Delta_{vap}H - \Delta_{sub} H = 0$(car on fait une boucle).
# Enthalpie libre
L'enthalpie libre $G$ représente une notation pour justifier la relation de Clapeyron.
$
d G = -S d T + VdP
$
# Relation de $Clapeyron$
Lors d'un changement de phase, entre $\alpha$ et $\beta$, la relation de clappeyron s'applique:
$
\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta_{\alpha\to \beta} H}{T(V_{B}-V_{A})}
$
En général on fera des hypothèse afin de simplifier la formule:
- $V_{B} \gg V_{A}$ dans le cas de la sublimation et de la vaporisation.
- $TV=\frac{RT^2}{P}$
- $\Delta H=const_{dT}$
# Relation de $Mayer$
$
C_{P}-C_{V} = R \quad\quad \gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}}
$
# Formules chiantes
| | Isochore $\Delta V = 0$ | Isobare $\Delta P=0$ | Isotherme $\Delta T=0$ | Adiabatique<br>$\Delta(PV)=0
lt;br> |
| ------------------------- | --------------------------------- | --------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------------------------------ |
| Relation entre $P$ et $V$ | $\frac{P}{T}=C$ | $\frac{V}{T}=C$ | $P*V=C$ | $PV^\gamma=C$ |
| $W$ | $0$ | $-P*\Delta V$ | __1__. $-P_1V_{1} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}lt;br>__2__. $-nRT \ln \frac{P_{1}}{P_{2}}$ | 1. $\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{\gamma-1}lt;br>2. $\frac{nR}{\gamma-1} \Delta Tlt;br> |
| $Q$ | $nC_{V} (\Delta T)$ | $nC_{P} (\Delta T)$ | __1__. $P_1V_{1} \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}lt;br>__2__. $nRT \ln \frac{P_{1}}{P_{2}}lt;br>__3__. $Q = -Wlt;br><br> | $0$ |
| $\Delta U$ | $n C_v\Delta T$ | $n C_v\Delta T$ | $0$ | $n C_v\Delta T$ |
| $\Delta H$ | $n C_P\Delta T$ | $n C_P\Delta T$ | $0$ | $n C_P\Delta T$ |
| $\Delta S$ | $n C_{V} \ln \frac{T_{2}}{T_{1}}$ | $n C_{P} \ln \frac{T_{2}}{T_{1}}$ | __1__. $nR \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}lt;br>__2__. $n R \ln \frac{P_{1}}{P_{2}}lt;br>__3__. $\frac{\Delta Q}{T}lt;br><br> | $0$ |
![[Pasted image 20240615163954.png]]
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