>[!remarque] >Il faut relire le cours de première année sur l'algèbre linéaire. Il faut réellement tout réviser. On doit être capable, en gros, les exos d'algèbre a l'IEFS du mois de Juin. Un noyau, une base, une image, un changement de base etc... On va refaire quelques calculs pour remettre en base quelque définitions: >[!rappel] >$ \begin{align*} f &: \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}\\ (x,y) &\to (x+6y, x+2y)\end{align*}$ > Elle est "clairement" linéaire. > ![[1 5 - Réduction d'endomorphisme 2024-10-25 14.08.07.excalidraw.svg]] %%[[1 5 - Réduction d'endomorphisme 2024-10-25 14.08.07.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% > On se rappelle que l'on a tout mit dans un tableau pour que ça fonctionne: > $A=[f]_{\mathcal{B}_{c}}=\begin{pmatrix}1&6\\1&2\end{pmatrix}$ > On rappelle qu'une matrice se lit en colonne. > Donc: $\det(A)=-4$ >[!proposition] >Eh il a une nouvelle coupe de cheveux ??????????? ----- $ \begin{align*} &&\Leftrightarrow \exists x &\neq 0_{E}, f(x)=0x\\ &&\Leftrightarrow \exists x &\neq 0_{E}, f(x)=0\\ &&\Leftrightarrow \exists x &\neq 0_{E}, x \in \text{Ker} f\\ &&\Leftrightarrow \text{Ker} f &\neq \{ 0_{E} \} \Leftrightarrow f \text{ non injective}\\ \end{align*} $ ### Polynôme caractéristique: >[!definition] >Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ on appelle polynôme caractéristique de $f:P_{f}(X)=\det(f-X{Id_{E}})$ > La matriciellement $P_{A}(X)=\det(A-XI_{n})$ >[!remarque] Ce polynôme caractérise les __valeurs__ propres, pas les vecteurs. >[!theoreme] >$\lambda$ est racine de $P_{A} \Leftrightarrow \lambda$ vp de $A$ >$\lambda$ est racine de $P_{f} \Leftrightarrow \lambda$ vp de $f$ >[!remarque] >Démonstration à apprendre ⚠ >[!demonstration] >$\begin{align*} \lambda \text{vp} A &&\Leftrightarrow \exists X &\neq 0,& A X &= \lambda X\\ &&\Leftrightarrow \exists X &\neq 0,& A X - \lambda X &=0 \\ &&\Leftrightarrow \exists X &\neq 0,& A X - \lambda X &=0 \\ &&\Leftrightarrow \exists X &\neq 0,& (A - \lambda I_{n})X &=0 \\ &&\Leftrightarrow \exists X &\neq 0,& X &\in \text{Ker}(A-\lambda I_{n}) \\ &&\Leftrightarrow&&\text{Ker}(A-\lambda I_{n}) &\neq \{ 0 \} \\ &&\Leftrightarrow&&\text{det}(A-\lambda I_{n}) &= 0\\ &&\Leftrightarrow&&P_{A}(\lambda)&= 0 \end{align*}$ >[!exemple] >Avec la matrice: >$ >\begin{align*} A&= \begin{pmatrix}1&6 \\ 1&2\end{pmatrix}\\ P_{A}(X) &= \det(\begin{pmatrix}1&6\\1&2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}X&0\\0&X\end{pmatrix})\\ &= \det \begin{pmatrix}1-X & 6 \\ 1 & 2-X \end{pmatrix}\\ &= X^{2}-3X - 4 = (X+1)(X-4) \end{align*}$ > Et donc $S_{P}(A)=\{ -1;4 \}$ >[!complément] >La vie est triste, donc on ne peut pas résoudre facilement des valeurs propres pour des matrices de taille supérieure à 2 >😿 ------ >[!definition] >Soit $\lambda$ une valeur propre de $f \in \mathcal{L}(E)$ >on appelle espace propre associé à $\lambda$: >$E_{\lambda}=Ker(f-\lambda \text{Id})$ >[!exemple] >$\begin{align*} A&= \begin{pmatrix}1&6\\1&2\end{pmatrix}\\ P_{A}(X)&= (X+1)(X-4) \\ Sp(A)&= \{ -1;4 \}\\ \end{align*}$ > Pour: $\lambda=-1$ on aura: > $E_{-1}=Ker(A-(-1)I_{2})=Ker(A+I)$ or: $Ker(A+I)=Vect\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$ >[!theoreme] >Soit $f$ un espace linéaire de $E$, soient $\lambda_{1}\neq \lambda_{2}\neq \lambda_{3}\dots$ des valeurs propres. >La somme: $E\lambda_{1}+E\lambda_{2}+\dots+E\lambda_{P}$ est directe. >[!demonstration] >Idée: un vecteur propre ne peut (à priori $\neq E$) pas être associé à $2 Vp \neq$ >Proprement dit on va démontrer par récurrence: >$E_{\lambda_{1}}+E_{\lambda_{2}}$ >On sait que cette somme est directe puisque c'est évident ---- >[!propriete] >Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ soit $\lambda$ une valeur propre, alors $1\leq dim(E_{\lambda})\leq m_{\lambda}$ avec $m_{\lambda}$ la multiplicité de la valeur propre >[!demonstration] >Soit $x$ un vecteur propre, $x \in E_{\lambda}$, tout d'abord $dim \, E_{\lambda}\leq n$. 2 cas: >__CAS 1__: >$dim \,E_{\lambda}=n$ alors $E_{\lambda}=E$. Alors $f(x)=\lambda x$. Donc $f=\lambda id_{E}$ >$P_{f}(X)=\det(f-X id_{E})=\det \begin{pmatrix}\lambda -x & & \\&\ddots & \\ & & \lambda -x\end{pmatrix}=(\lambda-x)^{n}$ >On a une seule racine c'est évident. >__CAS 2__: >$dim E_{\lambda}<n$ >On sait que $B=(e_{1},\dots,e_{k})$ en considérant $E_{\lambda}$ de dimension $k$. Alors: >$B_{E}=(e_{1}\dots,e_{k},e_{k+1},\dots,e_{n})$ ici on complète la base avec n'importe quoi pour avoir une base de $E$. >On aura: $ [f]_{B} =\begin{pmatrix}\begin{array}{cccc|c} \lambda -x & & & \\ &\ddots & & & ???\\ & & \lambda -x& \\ \hline 0 & \dots & 0 & \\ \vdots & & \vdots & & ???\\ 0 & \dots & 0 & \\ \end{array}\end{pmatrix} $ $ f(e_{1})= \lambda e_{1} $ Or: $\begin{align*} P_{(f)}(X) &= \det((\dots)-XI_{n})\\ &= (\lambda-X)-X(\dots????\dots) \end{align*} $