# Chapitre IV ## Valeurs propres >[!definition] >Un __vecteur propre__ $x$ d'un endomorphisme $f$ c'est: >$f(x)=\lambda x$ >On a un __vecteur propre__ par __valeur propre__ $\lambda$ > >L'ensemble des valeurs propre est noté $Sp(f)$ (spectre) >![[iefs 2025-01-26 10.26.21.excalidraw.svg]] %%[[iefs 2025-01-26 10.26.21.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% >[!propriete] >Si $0$ est valeur propre: $f$ n'est pas injective => $\det(f)=0$ >[!propriete] >Les valeurs propres peuvent être retrouvées grâce au polynôme caractéristique: >$P_{f}(X) = \det(f-X id)$ >Les valeurs propres sont les __racines du polynôme__. >[!remarque] >Pourquoi cette formule ? >On cherches: $\begin{align*} AX &= \lambda X\\ AX - \lambda X I &= 0\\ (A-\lambda I) X &= 0\\ \end{align*}$ > Or, $VX=0$ pour tout $X$ non nul signifie que l'on est dans le $ker$ de dimension 1 et donc: $\det(A-\lambda I)=0$ >![[iefs 2025-01-26 10.40.16.excalidraw.svg]] %%[[iefs 2025-01-26 10.40.16.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% ![[ZeroDeterminantConcreteExampleSweetSpot.light.mp4]] > Ici la vidéo montre l'espace en fonction d'une valeur $\lambda$, on remarque que l'air est bien égal à 0 ssi $\lambda$ est valeur propre. >[!propriete] >$\begin{align*} tr(A) &= \sum^{n}_{i=0} \lambda_{i}\\ \det(a) &= \Pi^{n}_{i=0} \lambda_{i} \end{align*}$ >[!propriete] >$\begin{align*} \Leftrightarrow&& f(x) &= \lambda x\\ \Leftrightarrow&& x &\in Ker(f-\lambda id_{E})\\ \end{align*}$ Donc soit $x$ est nul, soit un vecteur propre. ## Sous espaces propres >[!definition] >C'est l'ensemble de la droite d'une valeur prore où: >$\begin{align*} \Leftrightarrow&& E_{\lambda} &= Ker(f-\lambda id_{E})\\ \Leftrightarrow&&&= \{ x \in E, f(x)= \lambda x \} \end{align*}$ >[!propriete] >__Une somme direct__ est une somme d'espace qui, lorsque l'on prends toutes les bases indépendante, on a une nouvelle base. >En gros: >$\begin{align*} &\Leftrightarrow F_{1}+\dots+F_{p} \text{directe}\\ &\Leftrightarrow x_{1}+\dots+x_{p} = 0_{E} \implies x_{1}=\dots =x_{p}=0_{E} \end{align*}$ >[!propriete] >Si $f$ est un endomorphisme de $E$ et a $p$ valeurs propres __distinctes__, alors la somme des sous espaces est directe. >[!propriete] >Soit une valeur propre $\lambda$ de multiplicité $m_{\lambda}$ alors la dimension du sous espace est: >$1 \leq dim(E_{\lambda}) \leq m_{\lambda}$ ### Diagonalisation >[!definition] >$\begin{align*} &\Leftrightarrow f \text{ est diagonalisable}\\ &\Leftrightarrow E = E_{\lambda_{1}} \oplus \dots \oplus E_{\lambda_{p}}\\ &\Leftrightarrow dim(E) = dim(E_{\lambda_{1}}) + \dots + dim(E_{\lambda_{p}}) \end{align*}$ >[!propriete] >1. $f$ est diagonalisable si et seulement si le polynôme est scindé sur son ensemble de définition. Et: $dim E_{\lambda_{n}} = m_{\lambda_{n}}$ ---- >Si le polynôme admet $n$ racine distinctes, alors $f$ est diagonalisable. ----- >[!methode] >1. Trouver les valeurs propres et leur multiplicité >2. Déterminer les bases de $ker(A-\lambda I)$ en déduire leur dimension et qu'elles correspondent à leur multiplicité >3. On prends les bases des Ker moins les valeurs propres et on retrouves une matrice qui permet de retrouver les valeurs propres ![[UseEigenVectorsAsBasis.light.mp4]] Ici, on remarque que l'application de la matrice donne bien une différence de taille pour les deux vecteurs propres (bleu et violet). Donc, c'est une matrice diagonale (càd une matrice qui n'applique seulement une homothétie) # Chapitre V >[!propriete] Propriété pas vu en cours: >Si $u_{n}$ et $v_{n}$ positifs vérifient: $\lim_{ n \to \infty } \frac{u_{n}}{v_{n}} = 1$ alors: $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature. >[!complément] Séries générales: >$\begin{align*} \sum \frac{1}{2}^{n} &= 1\\ \sum \frac{1}{n^{2}} &= \frac{\pi^{2}}{6} \end{align*}$ On dit que: >[!definition] >$S_{N} = \sum^{N}_{n=0}u_{n}$ >Une somme partielle d'ordre $N$. On peut l'écrire également: >$\sum u_{n}$ >Lorsque $N\to +\infty$ alors: $S = \sum^{+\infty}_{n=n_{0}} u_{n}$ >[!propriete] >$\begin{align*} \sum^{+\infty}_{n=0}q^{n}=\frac{1-q^{N+1}}{1-q} \end{align*}$ > Cette série converges ssi $|q|<1$ >[!propriete] >L'exponentielle est égale à: $\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{\alpha^{n}}{n!}=e^{\alpha}$ >(note: si $\alpha=1$, alors on retrouves $e^{1}=e$) ----- >[!propriete] >__Condition__: $0\leq u_{n} \leq v_{n}$ et $v_{n}$ converges >__Conséquence__: $u_{n}$ converges (inversion, si $u_{n}$ diverges alors $v_{n}$ diverges) >[!propriete] >Si $u_{n} \sim_{n\to +\infty} v_{n} \text{ }\implies \text{ } \sum u_{n} \text{ et } \sum v_{n} \text{ sont de même nature}$ >[!propriete] >Soit une fonction $f$ une fonction décroissante continue réalisant une bijection de $[0;+\infty[$ à $[0;+\infty[$, $\int^{+\infty}_{0} f(x) \, dx$ et $\sum f(n)$ ont la même nature >[!definition] >Une série absolument convergente si elle converges en valeur absolue: >$\sum |u_{n}|$ >[!propriete] Alembert >__Condition__: il faut que $u_{n} \neq 0$ lorsque $n\to +\infty$, de plus, il faut que $\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|\to l$ alors: >- Si $l<1$ alors $\sum u_{n}$ converges __absolument__ >- Si $l>1$ alors $\sum u_{n}$ diverges (__grossièrement__) >- Si $l=1$ rip utilises une autre méthode >[!propriete] Cauchy >__Condition__: lorsque $\sqrt[n]{|u_{n}| } \to l$ alors: >- Si $l<1$ alors $\sum u_{n}$ converges __absolument__ >- Si $l>1$ alors $\sum u_{n}$ diverges (__grossièrement__) >- Si $l=1$ rip utilises une autre méthode >[!propriete] TSC >Si on a une série $v_{k}$ __positive__ et __décroissante__ qui __converges vers 0__. Alors: >$\sum (-1)^{k}v_{k}$ >Converges