# Partie 1 - Fondamental ## Chapitre 1 >[!definition] >Les définitions des produits vectorielles et scalaires sont assez simple, et ne nécessitent pas d'être réintroduites >[!propriete] Produit vectoriel >On sait que le produit vectoriel a plusieurs propriétés: >$\begin{align*} \vec{v_{1}} \times \vec{v}_{2} &= - \vec{v_{2}} \times \vec{v}_{1}\\ &\begin{cases} \vec{A} \times \vec{X} &= \vec{B}\\ \implies \vec{X_{k}} &= \frac{\vec{B} \times \vec{A}}{\mid \vec{A}\mid^{2}} + k \vec{A}\end{cases} \end{align*}$ > On note que l'inversion vectorielle donne une infinité de résultat. On utiliseras $k$ pour les différenciers. ## Chapitre 2 >[!definition] >Un glisseur est une force qui glisse. En gros, une translation en un point. >Or, ce glisseur peut provoquer tout de même une rotation. >![[fiches semestre 1 2025-01-12 14.59.26.excalidraw.svg]] %%[[fiches semestre 1 2025-01-12 14.59.26.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% >[!propriete] >1. Si je déplace $F$ selon sa droite $(D)$ alors le moment de $B$ ne varie pas. >2. Le moment d'un glisseur est nul sur sa droite. >[!propriete] >$\vec{M(B)}=\vec{M(A)} +\vec{BA} {\times}\vec{R}$ ## Chapitre 3 - Torseur >[!definition] Torseur >Un torseur $T$ dans un repère $O$ est noté: >$\begin{align*} \{T\}_{O} &= \begin{cases} \vec{F} \\ \vec{M_{F}}(O) \end{cases} \end{align*}$ >[!methode] >Un torseur $T$ peut demandé à etre définis par plusieurs petits éléments. Comme $\vec{dF}$. On aura alors: >$\begin{align*} \{T\}_{O} &= \begin{cases} \vec{F} &= \int \vec{dF} dS \, \\ \vec{M_{F}}(O) &= \int \vec{d_{M}(O)}\, dS \end{cases} \end{align*}$ > On remarquera que l'on peut intégrer selon une surface ou une droite. Il ne faut pas faire comme en physique un produit avec la normale mais juste intégrer $dF$ sur toute la surface. >[!complément] >Il faut comprendre les torseurs comme un __champ de vecteur__. >Il y a une résultante $\vec{R}$ et un moment $\vec{M}$ mais comme tout __champ de vecteur__ ils dépendent d'un point. C'est pour cela qu'il est important de spécifier le point d'application. > >[!definition] Torseurs spéciaux: >- __Torseur nul__: $\begin{cases} \vec{F} =0\\ \vec{M_{F}}(P)=0\end{cases}$ >- __Torseur couple__: $\begin{cases} \vec{F} =0\\ \vec{M_{F}}(P)\neq 0\end{cases}$ >- __Torseur glisseur__: $\begin{cases} \vec{F} \ne0\\ \vec{M_{F}}(P) \perp \vec{R} \end{cases}$ ---- >[!definition] Axe central __d'un torseur__ >Lieu où $\vec{M}$ et $\vec{R}$ sont colinéaires. ------ ### Opération sur les torseurs >[!definition] Torseurs équivalents >2 torseurs sont équivalent s'ils ont le même champ de moment. >Ils ont alors le même élément de réduction en un point. >[!definition] Comoment de 2 torseurs >$\{T_{1} \} \otimes \{ T_{2} \} = \vec{R_{1}} \cdot M_{2}(P)+\vec{R_{2}}\cdot M_{1}(P)$ # PARTIE 2 - Statique ## Chapitre 2 - Actions mécaniques >[!definition] >On peut définir une __action mécanique__ par un torseur: >$\left\{ \mathcal{F}_{\frac{1}{2}} \right\}_{P} = \begin{cases} \vec{R_{\frac{1}{2}}} &= \text{Résultante}\\ \vec{M_{\frac{1}{2}}}(P) &= \text{Moment en P} \end{cases}$ > Ici, c'est l'action que réalise $\sum_{1}$ sur $\sum_{2}$. ---- >[!methode] Traduction d'une liaison >__Tentative d'explication d'intuition.__ (version compliqué, sinon tu recopie la fiche de TD) > Nous allons prendre le cas d'une liaison pivot idéale d'axe $\vec{z}$ sans frottement. > Ce qu'il faut comprendre, c'est que la liaison pivot laisse uniquement une rotation selon $\vec{u_{z}}$, donc elle créé une force de résistance dans tout les autres axes. Si je bouge selon $u_{x}$, vu que la liaison pivot me bloque, alors je ne peux pas bouger. Elle créera une force de résistance. Mais si je tourne selon $\vec{u_{z}}$, puisque c'est une liaison pivot selon $\vec{u_{z}}$, alors je suis libre de tourner et elle ne m'oppose aucune force. > ![[fiches semestre 1 2025-01-12 15.21.30.excalidraw.svg]] %%[[fiches semestre 1 2025-01-12 15.21.30.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% > Donc puisque j'ai seulement un degré de liberté selon une rotation en $u_{z}$, et toutes les autres translations/rotations sont impossibles. Donc j'aurais: > $\begin{pmatrix}X&&M_{x}\\Y&&M_{y}\\Z&&0\end{pmatrix}$ > Et donc: > $\left\{ \mathcal{F}_{\frac{1}{2}} \right\}_{P} = \begin{cases} \vec{R_{\frac{1}{2}}} &= X \vec{u_{x}} + Y \vec{u_{y}} + Z \vec{u_{z}} \\ \vec{M_{\frac{1}{2}}}(P) &= M_{x} \vec{u_{x}} + M_{y} \vec{u_{y}} \end{cases}$ >[!propriete] >$\left\{ \mathcal{F}_{\frac{1}{2}} \right\} + \left\{ \mathcal{F}_{\frac{2}{1}} \right\} = \{ 0 \}$ ## Chapitre 3 - PFS >[!definition] PFS >À l'équilibre on a: $\sum \vec{R} = 0$ et $\sum \vec{M_{O}(R)}=0$ >[!methode] Résolution géométrique > ![[fiches semestre 1 2025-01-12 15.32.29.excalidraw.svg]] %%[[fiches semestre 1 2025-01-12 15.32.29.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% >[!methode] __PFS__ sur un solide >- __1__: Bilan des actions mécaniques (on décrit toutes les actions de chaque relations), on utilises les inconnues fournies par les torseur d'efforts transmissibles >- __2__: choix d'un point de réduction >- __3__: calcul de chaque torseur de chaque actions au point de réduction >- __4__: on applique le PFS ### Systèmes >[!methode] __Méthode__: trouver degré de liberté >Il faut faire un bilan des inconnues, ici pour un plan $X,Y$ >- __torseur__ = +3 inconnues ($X,Y,M_{z}$) >- __glisseur__ = +2 inconnues ($X,Y$) >- __couple__ = +1 inconnues ($M_{z}$) > >Pour un système spacial (donc en 3D): >- __torseur__ = +6 inconnues ($X,Y,Z,M_{x},M_{y},M_{z}$) >- __glisseur__ = +3 inconnues ($X,Y,Z$) >- __couple__ = +3 inconnues ($M_{x},M_{y},M_{z}$) Si le nombre d'inconnues est supérieur au nombre d'équation, alors le système est __hyperstatique__ et ne peut être résolu. # Partie 3 - Cinématique ## Chapitre 2 - Postulats et définition >[!definition] >Un paramètre de mouvement est une variable qui permet de définir les coordonnées __de tout les points__ du système par rapport à un repère $R$ >[!exemple] >Une roue sur un rail peut être définie par $x$ la position de la roue sur le rail, et $\phi$ l'angle de la roue par rapport au rail. ## Chapitre 4 liaisons >[!definition] >Une liaison, c'est une contrainte ou une condition. Par exemple "le solide doit garder contact avec le sol". En général le temps peut intervenir. >[!definition] >Un __degré de mobilité__ c'est la soustraction du nombre de paramètre $n$ et d'équations $m$ de liaisons indépendantes. >[!methode] __Méthode__: recherche équations de liaisons >1. __faire le schéma cinématique__ >2. __Paramètrage / repérage__ (définition des repères + définitions de l'ensemble des paramètres). On sait que l'on aura terminé la définition de l'ensemble des paramètres si, a partir des paramètres totaux, on arrives a retrouver la position exacte du système. (Exemple, si il manque l'angle de rotation d'une roue, on ne pourra pas retrouver sa position/rotation) >3. __Graphe de liaison__ >4. __Ecriture des équations de liaisons__. En général on peut se baser sur plusieurs propriétés mais c'est expliqué dans un bloc méthode spécifique. ### __Méthode__ Equation de liaisons On a 2 types d'équations de liaisons: - __géométriques__: liaisons non paramétrée, joint. - __cinématique__: condition de non glissement. Ces liaisons/conditions produisent des équations. Qui permettent de mieux définir notre système. Une liaison d'un solide $2$ vers $1$ va être repéré par: - un point $O_{2}$ tel que: $O_{1}O_{2}= \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ - 3 variables de rotations $M_{x},M_{y},M_{z}$ (note: c'est plus compliqué que ça, si tu veux mieux comprendre CF P38 poly) #### Géométrique >[!definition] Jointure >![[fiches semestre 1 2025-01-12 15.51.51.excalidraw.svg]] %%[[fiches semestre 1 2025-01-12 15.51.51.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% > Ici, $AB+BC+CA=0$ >[!definition] Point confondu > ![[fiches semestre 1 2025-01-12 15.56.10.excalidraw.svg]] %%[[fiches semestre 1 2025-01-12 15.56.10.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% > Dans le cas où $A$ et $B$ restent les mêmes points: $\vec{AB}=0$ ou $A \equiv B$ #### Cinématique Chaque __liaison produit une équation__. Cette équation peut être utile ou inutile. >[!definition] Equation liaison pivot >Soit une liaison pivot selon $u_{z}$, on aura: >$\begin{cases} \vec{O_{1}O_{2}} &= \vec{0} \implies \text{une translation selon x,y,z bloqué} \\ \vec{z_{2}}\cdot \vec{x_{1}} &= 0 \implies \text{une rotation selon x bloqué} \\ \vec{z_{2}}\cdot \vec{y_{1}} &= 0 \implies \text{une rotation selon y bloqué} \end{cases}$ > On en déduit que $x,y,z$ sont définis, la rotation selon deux axes aussi, on a $5$ équation et $6$ inconnues, donc on a 1 degré de mobilité. >[!definition] Equation liaison glissière >Soit une liaison glissière selon $u_{z}$, on aura: >$\begin{cases} \vec{O_{1}O_{2}} \cdot \vec{u_{x}} &= \vec{0} \implies \text{une translation selon x bloquée} \\ \vec{O_{1}O_{2}} \cdot \vec{u_{y}} &= \vec{0} \implies \text{une translation selon y bloquée} \\ \vec{x_{2}}\cdot \vec{y_{1}} &= 0 \implies \text{une rotation selon y bloquée} \\ \vec{x_{2}}\cdot \vec{z_{1}} &= 0 \implies \text{une rotation selon x bloquée}\\ \vec{z_{2}}\cdot \vec{x_{1}} &= 0 \implies \text{une rotation selon z bloquée} \end{cases}$ > On en déduit que $x,y$ sont définis, la rotation est fixé selon tout les axes on a $5$ équation et $6$ inconnues, donc on a 1 degré de mobilité (ici la translation en $z$. >[!definition] Equation liaison pivot glissant >Soit une liaison pivot glissant selon $u_{z}$, on aura: >$\begin{cases} \vec{O_{1}O_{2}} \cdot \vec{u_{x}} &= \vec{0} \implies \text{une translation selon x bloquée} \\ \vec{O_{1}O_{2}} \cdot \vec{u_{y}} &= \vec{0} \implies \text{une translation selon y bloquée} \\ \vec{x_{2}}\cdot \vec{y_{1}} &= 0 \implies \text{une rotation selon y bloquée} \\ \vec{x_{2}}\cdot \vec{z_{1}} &= 0 \implies \text{une rotation selon x bloquée} \end{cases}$ > On en déduit que $x,y$ sont définis, la rotation est fixé selon $x,y$. On a $4$ équation et $6$ inconnues, donc on a 2 degré de mobilité (ici la translation en $z$ et la rotation en $z$). >[!definition] Equation liaison rotule >Soit une liaison rotule on aura: >$\begin{cases} \vec{O_{1}O_{2}} \cdot \vec{u_{x}} &= \vec{0} \implies \text{une translation selon x bloquée} \\ \vec{O_{1}O_{2}} \cdot \vec{u_{y}} &= \vec{0} \implies \text{une translation selon y bloquée} \\ \vec{O_{1}O_{2}} \cdot \vec{u_{z}} &= \vec{0} \implies \text{une translation selon z bloquée} \\ \end{cases}$ > On en déduit que $x,y,z$ sont définis, la rotation n'est pas fixé. On a $3$ équation et $6$ inconnues, donc on a 3 degré de mobilité (ici la rotation en $x,y,z$). >[!methode] __Méthode__ paramètres: >Donc une fois que l'on a les mouvements, on aura des variables par rapport aux degrés de libertés. Par exemple si j'ai une translation selon $u_{z}$, j'aurais alors: >$z = \vec{O_{1}O_{2}} \cdot \vec{z_{1}}$ >Si j'ai une rotation entre $x_{1}$ et $x_{2}$, j'aurais un paramètre: $\phi = (\vec{x_{1}};\vec{x_{2}})$ ---- >[!methode] __Méthode__ retrouver les équations. >On peut essayer de retrouver les équations. Imaginons on a une liaison pivot d'axe $(A,\vec{x})$ >On regarde notre fiche et on a: ![[Pasted image 20250112165236.png]] >Premièrement, la première colonne explique que: >$\begin{cases}x_{1}=x_{2} \\ y_{1}=y_{2} \\ z_{1}=z_{2} \end{cases}$ > La deuxième colonne explique que: > $\begin{cases} 0\\ u_{z_{1}} \cdot u_{y_{2}} = 0 \\ u_{z_{1}} \cdot u_{x_{2}} = 0 \end{cases}$ > Donc $y_{2}$ ne peut pas tourner, et $x_{2}$ ne peut pas tourner. Mais $z_{2}$ peut tourner. >[!methode] __Méthode__: retrouver les équations par un schéma > Par un schéma: > ![[fiches semestre 1 2025-01-12 16.55.14.excalidraw.svg]] >%%[[fiches semestre 1 2025-01-12 16.55.14.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% >$\begin{cases}x_{1}=x_{2} \\ y_{1}=y_{2} \\ z_{1}=z_{2} \end{cases}$ > $\begin{cases} 0\\ u_{z_{1}} \cdot u_{y_{2}} = 0 \\ u_{z_{1}} \cdot u_{x_{2}} = 0 \end{cases}$ ## Chapitre 5 - Cinématique Soit $M$ un point, on aura: >[!definition] >$\begin{align*} \vec{V}(M |i) = \left( \frac{d(\vec{O_{i}M})}{dt} \right)_{1} \\ \vec{A}(M |i) = \left( \frac{d(\vec{V(M|i)})}{dt} \right)_{1} \\ \end{align*}$ >[!propriete] >Soit: $O_{i}M=O_{i}A_{i} + A_{i}M_{i}$. >Alors: $dO_{i}M = dO_{i}A_{i} + dA_{i}M$ >Or, si le point $A_{i}$ est fixe selon $O_{i}$, on aura: $dO_{i}A_{i}=0$ >[!propriete] >$\begin{align*} \vec{V}(N_{k}|i) &= \vec{V}(M_{k}|i) + \vec{\Omega}(k|i) \times \vec{M_{k}N_{k}} \\ \left( \frac{d \vec{W}}{dt} \right)_{A} &= \left(\frac{d \vec{W}}{dt}\right)_{B}+ \vec{\Omega}(B|A) {\times} \vec{W} \end{align*}$ > En gros, on recycle $BABAR$ >Où $\vec{\Omega}(B|A)$ est le vecteur de rotation instantané entre $B$ par rapport à $A$. >[!definition] >Le torseur vitesse d'un solide $S_{k}$ par rapport à $S_{i}$ est noté: >$\{ \mathcal{V}_{k|i}\}=\begin{cases} \vec{\Omega}(k|i) \\ \vec{V}(M_{k}|i) \end{cases}$ >[!propriete] Retrouver $\Omega$ >On sait que: >$\begin{align*} \vec{\Omega}(k|i) &= -\vec{\Omega}(i|k)\\ \vec{\Omega}(k|i) &= \vec{\Omega}(k|j) + \vec{\Omega}(j|i)\\ \left( \frac{d \vec{\Omega}(k|i)}{dt} \right)_{i}&=\left( \frac{d \vec{\Omega}(k|i)}{dt} \right)_{k} \end{align*}$ >[!methode] >en général, on saura que $\vec{\Omega}=\frac{d\theta}{dt} \vec{u}$ sur une droite. Par exemple un disque tourne à une vitesse de $\frac{d\theta}{dt}$, alors on aura: $\vec{\Omega}$ sur la droite où le disque tourne. ### Vitesse >[!propriete] >$\vec{V}(M|i)=\vec{V}(M|j)+\vec{V}(M,j|i)$ >Avec: $\vec{V}(M,j|i)=\vec{V}(O_{j}|i)+\vec{\Omega}(j|i) {\times}\vec{O_{j}M}$ ### Accélération __on ne peut pas avoir de torseur d'accélération (src: P56)__ >[!propriete] >$\vec{A}(N_{k}|i) = \vec{A}(M_{k}|i) + \left(\frac{d \vec{\Omega}(k|i)}{dt}\right)_{i} \times (\vec{M_{k}N_{k}})+ \vec{\Omega}(k|i) \times(\vec{\Omega}(k|i) \times\vec{M_{k}N_{k}})$ >[!propriete] > ![[Pasted image 20250112164627.png]] En général, vu les tete des formules on ne les utilises pas. Sauf si on est perdu. >[!methode] __Trouver l'accélération__. >On peut: >- Dériver: $\vec{A}(M|i) = \left(\frac{d\vec{V}(M|i)}{dt}\right)_{i}$ >- Base mobile: $\vec{A(O_{2},2|0)}=\left( \frac{d}{dt} V(O_{2},2|0) \right)_{0} = \left(\frac{d}{dt} \vec{V}(O_{2};2|0)\right)_{1}+\vec{\Omega_{1|0}} \times \vec{V}(O_{2};2|0)$ >- Par composition: cf schéma du dessus. A ne pas utiliser au possible. ## Chapitre 9 On aura: $ \Omega(2|1) = \vec{P}(I,2|1) + \vec{R}(I,2|1) $ >[!definition] >Un vecteur de pivotement, c'est le vecteur de rotation selon la normale. >Un vecteur de roulement, c'est le vecteur de rotation selon la tangente. >![[1 X - notes cm a trier 2025-01-08 08.46.35.excalidraw.svg]] %%[[1 X - notes cm a trier 2025-01-08 08.46.35.excalidraw.md|🖋 Edit in Excalidraw]]%% # Misc >[!methode] Trajectoire >La trajectoire peut etre une ellipse, un carré, une translation (une ligne), etc... Ce serra toujours une courbe. On peut trouver une trajectoire par formule ou en analysant le méchanisme (exemple: pour un point sur une roue d'un vélo, ce serra forcément circulaire du point de vue du vélo).